Växande funktion

Välkommen till Pluggakuten.

Denna fråga besvarades i denna tråd (följ länken).

Återkom om du dina funderingar kvarstår.

Varför vill du att c ska bli realt?

Du har rätt, det behöver inte bli ett reellt tal. Derivatan ska vara större eller lika med noll.  x= -1/3 ±$\sqrt{1/9-a/3}$ bör därför inte existera eller enbart ha en lösning. 

Din uträkning stämmer inte riktigt.

Det är alltid lite lurigt med olikheter när uttrycken inte är linjära.

Generellt gäller att olikheten $y^2\geq b$ inte har lösningarna $y\geq\pm\sqrt{b}$ utan istället de två lösningsmängderna $y\geq\sqrt{b}$ och $y\leq-\sqrt{b}$.

========

Om vi nu tillämpar det i denna uppgift så får vi att olikheten

$(x+\frac{1}{3})^2\geq\frac{1}{9}-\frac{a}{3}$

har lösningarna

• $x+\frac{1}{3}\geq\sqrt{\frac{1}{9}-\frac{a}{3}}$, dvs $x\geq-\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{9}-\frac{a}{3}}$

och

• $x+\frac{1}{3}\leq-\sqrt{\frac{1}{9}-\frac{a}{3}}$, dvs $x\leq-\frac{1}{3}-\sqrt{\frac{1}{9}-\frac{a}{3}}$

Vi vill nu att derivatan endast ska ha ett nollställe, vilket ger oss att

$-\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{9}-\frac{a}{3}}=-\frac{1}{3}-\sqrt{\frac{1}{9}-\frac{a}{3}}$

Addera $\frac{1}{3}$ till båda sidor:

$\sqrt{\frac{1}{9}-\frac{a}{3}}=-\sqrt{\frac{1}{9}-\frac{a}{3}}$

Addera $\sqrt{\frac{1}{9}-\frac{a}{3}}$ till båda sidor:

$2\sqrt{\frac{1}{9}-\frac{a}{3}}=0$

Kvadrera:

$4\cdot(\frac{1}{9}-\frac{a}{3})=0$

Dividera med 4 på båda sidor:

$\frac{1}{9}-\frac{a}{3}=0$

Addera $\frac{a}{3}$ till båda sidor:

$\frac{1}{9}=\frac{a}{3}$

Multiplicera båda sidor med 3:

$a=\frac{1}{3}$

Kvarstår att visa att $f(x)$ faktiskt är växande och inte avtagande.

Yngve skrev:

Kvarstår att visa att f(x) faktiskt är växande och inte avtagande.

Har vi inte precis konstaterat det? För att derivatan ska vara större eller lika med noll måste x=-1/3$\pm$$\sqrt{1/9-a/3}$endast ha ett eller inga nollställen. Detta innebär att a$\ge$1/3

Quill skrev:

Har vi inte precis konstaterat det? För att derivatan ska vara större eller lika med noll måste x=-1/3$\pm$$\sqrt{1/9-a/3}$endast ha ett eller inga nollställen. Detta innebär att a$\ge$1/3

Nej, det enda vi har gjort är att vi har visat att

• om a = 1/3 så har derivatan exakt ett nollställe och
• om a > 1/3 så har derivatan inga (reella) nollställen.

Det betyder att a $\geq$ 1/3 ger att f(x) har max en stationär punkt.

Om den har en stationär punkt så måste det vara en terrasspunkt (eftersom f(x) är en tredjegradsfunktion).

Men vi har inte visat/resonerat kring om funktionen då överallt är strängt växande eller strängt avtagande.

Det involverar antingen att visa att a > 1/3 ger positiv derivata överallt eller att resonera kring hur en tredjegradsfunktion meter sig när den har en positiv koefficient framför tredjegradstermen beter sig.