Växande funktion
Hej!
Bestäm a så att
Så att funktionen är sträng växande för alla X.
Jag tolkar detta som att derivatan alltid ska vara lika med eller större än 0.
Så derivatan är:
Sen tänker jag PQ formeln?
Då tänker jag att resultatet här ska bli 0.
Vilket innebär att måste bli en tredjedel? Fast då åker jag dit på +- tecknet där i vilket fall... och då vet jag inte vad jag ska göra.
***********
Okej jag ritade funktionen i Desmos nu och ser att det är i varje fall möjligt, ser också att a måste vara lika med eller större än 0.3 men vet inte hur jag ska komma fram till det.
Jag tror svaret är att uttrycket i roten tecknet i PQ formeln måste bli 0, men jag vet inte exakt varför. Derivatan blir ändå inte negativ i och med att vi har en andragradsterm, vilket innebär att X alltid blir positivt där, sen har vi koefficient3 framför, vilket innebär att x alltid blir positivt, om a då har ett visst värde..
Strängt växande innebär att derivatan måste vara strikt större än 0. Tillåter vi derivatan att vara 0 säger vi bara att funktionen är växande.
Kan du då dra en ny slutsats om värdet på x efter PQ-formeln?
..Nej.
Eller jag drar slutsatsen att även om x är negativt så blir det positivt i och med andragradstermen, och i och med att koefficienten 3 är större än 2 för bx termen i ekvationen, så kommer X termerna för derivatan alltid att resultera i ett positivt värde där.
Då har vi ax kvar att resonera kring och.. dessa får alltså inte tillsammans bli ett negativt värde som resulterar i att värdet från summan av första x termerna i funktionen blir 0 eller negativt efter att vi adderar ax.
Så.. eh.. Vi ser i PQ formeln att om a är 1/3 blir roten ur uttrycket 0 och det.. jag vet inte vad det säger om ens något.
Nej, jag kan inte dra någon slutsats tyvärr.
Eller jag räknar ut att derivatan blir 0 om a är 1/3.
Jag räknar på X värdet jag har fått fram.
.. Så jag ser här att a måste vara större än 1/3.
Fast det gäller väl bara i det här specifika fallet och säger ingenting om det gäller för alla x, hur bevisar man det.
Det var nog mitt bästa försök.. ^^'
******
Eller jag har sett att X termerna för sig aldrig kan leda till en negativ lutning för derivatan. a kan således inte vara negativt. Om jag sätter att derivatan är = 0 vilket jag har gjort så ser jag när lutningen är 0, vilket innebär att det är det enda scenariot jag egentligen måste parera för gällande den här funktionen. Och då har jag sett att svaret är större än 1/3. Det är rätt eller hur?
Precis, derivatan blir aldrig negativ om vi konstruerar en dubbelrot, men vi kommer fortfarande ha en punkt där derivatan är 0, vilket vi inte vill ha.
Om vi har 2 rötter kommer derivatan vara negativ mellan dessa 2 rötter.
Vad händer om vi har inga rötter?
Om vi inte har några rötter så korsar funktionen aldrig X axeln och har då inga reella lösningar, har jag för mig.
Men har kanske imaginära lösningar(?)
Man får vara lite försiktig här. Tex så är y = x3 strikt växande, men derivatan har ändock ett nollställe.
Enligt boken jag har så säger man att 0 är neutralt och kan bedömas som både negativt och positivt... Och egentligen på båda sidor om nollstället så kan man ju se att lutningen är större än 0, och då borde även 0 kunna bedömmas som strikt växande. Men jag vet inte. Den växer ju inte exakt där men..
PATENTERAMERA skrev:Man får vara lite försiktig här. Tex så är y = x3 strikt växande, men derivatan har ändock ett nollställe.
Det är helt sant. Vi kan faktiskt tillåta en dubbelrot isåfall, mitt fel. Poängen är då att derivatan bara får vara 0 på en punkt i följd, dvs inga öppna intervall.
Hur menar ni?
Läs gärna den hör definitionen av växande/avtagande och strängt växande/avtagande.
Den är inte baserad på derivata, vilket är bra.
Dkcre skrev:Enligt boken jag har så säger man att 0 är neutralt och kan bedömas som både negativt och positivt...
I så fall står det fel i boken.
Talet 0 är varken ett negativt eller ett positivt tal.
Och egentligen på båda sidor om nollstället så kan man ju se att lutningen är större än 0, och då borde även 0 kunna bedömmas som strikt växande. Men jag vet inte. Den växer ju inte exakt där men..
Se mitt förra svar om definition av växande/strängt växande funktion.
Hej Yngve,
Jag kollade faktiskt lite där fast på engelska. Jag fick det till att en funktion kan vara strikt växande även om den har ett ställe där derivatan är 0.
Ah nej det står i boken att derivatan måste vara större än 0 för att vara strängt växande. Men att funktionen ändå kan vara växande om derivatan är 0..
Så en funktion kan vara strängt växande i ett specifikt intervall men jag antar att funktionen överlag endast kan bedömas vara strängt växande om det är oberoende av intervall..
Dkcre skrev:Hej Yngve,
Jag kollade faktiskt lite där fast på engelska. Jag fick det till att en funktion kan vara strikt växande även om den har ett ställe där derivatan är 0.
Det stämmer. Som PATENTERAMERA skrev i svar #6 så är y = x3 ett exempel på det.
Ah nej det står i boken att derivatan måste vara större än 0 för att vara strängt växande. Men att funktionen ändå kan vara växande om derivatan är 0..
OK, men då står det ändå fel. Se ovan exempel med y = x3 som är strängt växande överallt men där derivatan är lika med 0 i origo.
Så en funktion kan vara strängt växande i ett specifikt intervall men jag antar att funktionen överlag endast kan bedömas vara strängt växande om det är oberoende av intervall..
En funktion kan vara (strängt) växande I vissa intervall och (strängt) avtagande I andra intervall, t.ex. y = sin(x).
Okej :) tack.
