Vattenglas har formen av en klot

Hej!
Problemet är lite knepigt om du försöker lösa det genom att använda konens vloymformel.

När du skrev v' , beräknade du derivatan med avseende på radien. Men problemet är att höjden också beror på radien. (Eller tvärtom: radien beror på höjden: r = h/2)

Så $\frac{dV}{dh}=\frac{d}{dh}\frac{\mathrm{\pi } {\mathrm{r}}^2 \mathrm{h}}{3}=\frac{d}{dh}\frac{\mathrm{\pi } {\mathrm{h}}^3}{12}=\frac{\mathrm{\pi } {\mathrm{h}}^2}{4}$ (och det är lika med $r^2\mathrm{\pi }$)

Det är lätt att inse (utan att derivera konens volym) att nivåökningen endast beror på vattenytans storlek, som är $r^2\mathrm{\pi } =\frac{{\mathrm{h}}^2\mathrm{\pi }}{4}$)

$\frac{dV}{dh}=A=\frac{h^2\mathrm{\pi }}{4}$

Hej.

Börja med att titta på förhållandet mellan r och h.

Så enligt bilden då är tan(A)=r/h eller r =h*tan(A) . Eftersom längst ut på konen är tan(A)=9/18=0.5 så har vi alltså r=0.5*h .

Volymen av en kon ges av V=B*h/3 eller $V=\frac{{\mathrm{\pi r}}^2*\mathrm{h}}{3}$. Eftersom vi vet att r=0.5h så får vi istället

$V=\frac{\pi r^2*h}{3}=\frac{\pi {(0.5*h)}^2*h}{3}=\frac{\mathrm{\pi }*0.25*{\mathrm{h}}^3}{3}$

Vi vet att både konens volym och höjden i konen ändras med tiden då konen fylls på. Därför sätter vi V och h som funktioner av t

$V\left(t\right)=\frac{\mathrm{\pi }*0.25*{\left[\mathrm{h}\right(\mathrm{t}\left)\right]}^3}{3}=c*{\left[\mathrm{h}\right(\mathrm{t}\left)\right]}^3$

där c bara är talet som motsvarar pi och så vidare. Om vi nu deriverar V med avseende på tiden så använder vi kedjeregeln på termen som innehåller h(t)

$\frac{dV\left(t\right)}{dt}=c*3{\left[h\right(t\left)\right]}^2*\frac{dh\left(t\right)}{dt}$

Stoppar vi sedan in värdena för dv/dt och h(t) som vi får uppgiften får vi ett värde på dh/dt.

Är det rätt? 

Hej! Jag har gjort ett nytt försök . Är det rätt?

Ja, det stämmer.