vätska

Hej

jag har en uppgift som jag behöver lite hjälp med att lösa.

Under ett experiment stelnar en vätska så att dess yta antar formen $z = \frac{7 y^{2}}{2 (1 + 2 x + 3 y)}, 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1$

Når ytan någonstans över nivån z=1?

Jag började med antagandet z>1

$\frac{7 y^{2}}{2 (1 + 2 x + 3 y)} > 1$

och får då $7 y^{2} - 4 x - 6 y > 2$

det maximala värdet för VL uppnås då x=0 och vi får då $7 y^{2} - 6 y > 2 7 y^{2} - 6 y - 2 > 0$

och rötterna $\frac{6 \pm \sqrt{92}}{14}$

Dock ligger rötterna utanför området $0 \leq y \leq 1$

men sedan kommer jag inte längre. Max värdet ska enligt facit vara 7/8 och svaret blir att vi inte når över z=1

Jag tror att du får söka efter funktionens maximum genom att:

1. Leta efter lokala extrempunkter (där gradienten är noll).

2. Undersöka värden på randen.

Eftersom att mängden är kompakt existerar ett maximum antingen på randen eller i lokala extrempunkter.

Om du inte har någon lokal maxpunkt i intervallet (och funktionen är kontinuerlig) så måste max antas någonstans på randen.

EDIT: och eftersom du insett att x = 0 ger max så är randen i princip reducerad till 2 punkter.

Dr. G skrev :
Om du inte har någon lokal maxpunkt i intervallet (och funktionen är kontinuerlig) så måste max antas någonstans på randen.
EDIT: och eftersom du insett att x = 0 ger max så är randen i princip reducerad till 2 punkter.

Om man parametriserar med $(x,y)=(0,t)$ får man väl intervallet $0 \leq t \leq 1$ att undersöka? Om man inte inser att maximum är i $(0,1)$ ?

pi-streck=en-halv skrev :
Om man parametriserar med $(x,y)=(0,t)$ får man väl intervallet $0 \leq t \leq 1$ att undersöka? Om man inte inser att maximum är i $(0,1)$ ?

Jo, jag hade lite otur när jag tänkte.

Med resonemanget vet man i alla fall att z < 1 på hela området.

jag förstår inte riktigt hur jag ska få fram max i uppgiften, då vi vet att max är 7/8 så kommer vi ju aldrig upp till z=1 det är jag ju med på men hur får vi fram 7/8?

sätter man y=1 får vi -1>0 vilket inte stämmer

Eftersom att $z = f(x,y) = \frac{7y^2}{2(1+2x+3y)}$ så är $f(0,1) = \frac{7}{8}$

Mängden som du beskriver är kompakt. En kontinuerlig funktion på en kompakt mängd garanterar existensen av ett maximum (och minimum). Maximum till $f(x,y)$ finnes i lokala extrempunkter (där $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} = 0$ ) eller på randen till mängden.

Om vi antar att vi redan vet att maximum finns på randen, och att det gäller att maximum har egenskapen att $x=0$ (man bör undersöka hela randen), så kan vi finna maximum för funktionen $g(t) = f(0,t) = \frac{7t^2}{2(1+3t)}$ . Maximum till $g(t)$ finns där $g'(t) = 0$ eller på randen $t=0$ eller $t=1$ .

okej jag är med på hur vi får 7/8 nu, men jag förstår inte riktigt hur vi vet att det är max värdet.

om vi alltså har egenskapen x=0 och sätter t=y ska vi då beräkna värdet av derivatan av $\frac{7 t^{2}}{2 (1 + 3 t)}$ =0

och randen t=0 och t=1, då t=1 har vi väl redan räknat fram till 7/8? och t=0 blir väl 0

Svara

Visa senaste svar