Vart ska man ta vägen när lösningen är ful, aka bestäm en normal till planet

Hej allihopa!

Kände en stor nostalgi när jag röstade för PA2018, så varför inte döda två flugor med en sten? Rulla mig tillbaka OCH dela en jobbigt problem som vägger tungt på hjärtat :D?

Jag har ritat en triangel som har sidorna $\sqrt{3}, \sqrt{6}$ och 3 (tror jag, det var länge sedan, åtminstone 20 minuter....) och försökte lösa den med trigonometri. Tyvärr tog mitt tålamod slut och jag tjuvkikade på faciten som föreslog en ganska otrevlig och djupt otillfredstellande lösning....

Spoiler ahead.

Finns det något mer elegant sätt att lösa det?

Tja, jag löste den utan att titta på facit och det blev i huvudsak likadant. Man måste normera, och det är väl det som är det "fula". Man kan ta kryssprodukten av PA och QA och då får man en vektor i planet, men vad man ska göra sedan med den vet jag inte.

Det går ju att krångla med reflektionsformeln också, men då får man betydligt mer jobb jämfört med facit.

Jag tycker facits lösning är ganska snygg.

Man kan också tänka att normalen som utgår från A är bisektris till vinkeln PAQ.

Om du tar två lika långa vektorer som pekar längs AP respektive AQ (t.ex båda normerade) så är normalen i riktningen av summan av dessa.

n = AP/|AP| + AQ/|AQ|

Dr. G skrev:
Man kan också tänka att normalen som utgår från A är bisektris till vinkeln PAQ.

Är det?

Om du tar två lika långa vektorer som pekar längs AP respektive AQ (t.ex båda normerade) så är normalen i riktningen av summan av dessa.
n = AP/|AP| + AQ/|AQ|

inte halva?

dajamanté skrev:
Dr. G skrev:
Man kan också tänka att normalen som utgår från A är bisektris till vinkeln PAQ.

Är det?
Om du tar två lika långa vektorer som pekar längs AP respektive AQ (t.ex båda normerade) så är normalen i riktningen av summan av dessa.
n = AP/|AP| + AQ/|AQ|
inte halva?

Hälften av en normal är också en normal.

Jag antar att om man hatar division så kunde man också multiplicerat varje vektorerna med den andras längd för att få dem till samma längd snarare än att normera dem och få dem båda till 1

$n = ||AP||\vec{AQ} - ||AQ||\vec{AP}$

Laguna skrev:
dajamanté skrev:
Dr. G skrev:
Man kan också tänka att normalen som utgår från A är bisektris till vinkeln PAQ.

Är det?
Om du tar två lika långa vektorer som pekar längs AP respektive AQ (t.ex båda normerade) så är normalen i riktningen av summan av dessa.
n = AP/|AP| + AQ/|AQ|
inte halva?
Hälften av en normal är också en normal.

Ja, men högst en av dem är normerad.

Smaragdalena skrev:
Laguna skrev:
dajamanté skrev:
Dr. G skrev:
Man kan också tänka att normalen som utgår från A är bisektris till vinkeln PAQ.

Är det?
Om du tar två lika långa vektorer som pekar längs AP respektive AQ (t.ex båda normerade) så är normalen i riktningen av summan av dessa.
n = AP/|AP| + AQ/|AQ|
inte halva?
Hälften av en normal är också en normal.
Ja, men högst en av dem är normerad.

Sant, men här behövde den inte vara normerad.

dajamanté skrev:
Dr. G skrev:
Man kan också tänka att normalen som utgår från A är bisektris till vinkeln PAQ.

Är det?

Ja! Det är så optiker oftast beskriver reflexionslagen. reflexionsvinkeln = infallsvinkeln. Vi brukar gilla att räkna vinklar från normalen, istället för mot ytan.

Ser du att normalen då blir bisektrisen jag pratade om?

Ja!

Tack, ni är bäst.

(omg, hur djupt har jag förträngt fysik..)

Hej!

Man måste inte normera vektorerna $PA$ och $AQ$ ; det enda som behövs är två vektorer som är lika långa. Om man väljer att arbeta med vektorn $PA$ så ska man multiplicera vektorn $AQ$ med ett lämpligt tal ( $c$ ) så att vektorn $cAQ$ har samma längd som vektorn $PA$ .

Summan av vektorerna $AP$ (notera riktningen från A till P) och $cAQ$ är då en vektor ( $n$ ) som är vinkelrät mot planet.

$n = AP + cAQ = -PA + cAQ = cAQ - PA.$

Tackar :)

Svara

Visa senaste svar