Varians för en kontinuerlig stokastisk variabel

Utifrån tidigare uppgift har jag fått fram nedanstående för väntevärdet för olika n, jag ska även ta fram varians, för att sedan använda transformationsmetoden för att bestämma täthetsfunktionen för de standardiserade variablerna. Däremot har jag problem med variansen.

De tidigare uppgifterna:

$E (y) = \int_{0}^{100} y \cdot \frac{n y^{n - 1}}{100^{n}} = \frac{n 100}{n + 1}$

Vilket har genererat en fördelning enligt nedanstående för E(y)/(100)
(tog bort faktorn 100 för enkelhetens skull).

n1: (1/2) n2: (2/3) n3: (3/4) n4: (4/5) n5:(5/6)

Sedan ska jag ta med mig detta och få ut variansen, och jag har fört in uppgifterna från väntevärdet i variansformeln för en kontinuerlig stokastisk variabel, enligt nedan (vet ej om jag gjort rätt):

$V (y) = \int_{0}^{100} {(y \cdot \frac{n y^{n - 1}}{100^{n}})}^{2} \cdot \frac{n 100}{n + 1}$

Jag tror att jag får problem när jag försöker förenkla integralen, för när jag integrerar och sedan försöker stoppa in värden på n blir variansen helt fel.

Hur ska man tänka för att få till variansen? Tror att jag behöver hjälp med själva integrationen eftersom jag är osäker på hur jag tar det vidare i från ovanstående.

Tack på förhand!

[Edit/tillägg #1]
Jag har också funderat på om man kan göra om intervallet [0, 100] till [0, 1] istället, för beräkningen verkar enklare då. Kan man göra det och sedan multiplicera med 100?

[Edit/tillägg #2]
Kan man komma undan med att använda nedanstående formel istället?
$V (y) = E (y^{2}) - (E {(y))}^{2})$

[Edit/tillägg #3]
Eller måste man göra om fx(y) till en ny variabel, bara för att förkorta/förenkla?

Jag skulle nog prova ditt tillägg 2. Jag har svårt att genomskåda om din ursprungliga varians (V(y)) är rätt uppställd. Jag är tveksam.

Generellt är E( $y^{2}$ ) = $\int_{0}^{\infty}$ $y^{2}$ f(y)dy. Den övre gränsen verkar trunkerad vid 100 i ditt exempel. Vad beror det på?

Vill du ändra integrationsgränserna får du göra ett variabelbyte överallt i integralen, typ t=y/100. Vad kommer variansformeln ifrån? Jag tror också på att använda satsen i tillägg 2.

Tack för svar!

Försökte hålla mig kortfattad, så jag skippade första steget. Vilket är en uppgift jag redan frågat om, ifall ni vill spana in tidigare diskussioner.

Nedanstående gjorde att jag tolkade integralen som 0 till 100. Men jag har svårt att reda ut E(y^2) om det är den variationen jag ska använda.

”Antag att varje person i en population har ett högsta belopp de kan tänka sig att betala för en viss vara, ett s.k. willingness to pay, WTP. Antag vidare att de personer som deltar i en auktion där man har möjlighet att ge endast ett bud, ger sitt WTP som bud. Den budgivare som ger det högsta budet vinner auktionen och betalar det givna budet får varan.

a) Bestäm sannolikhetsfördelningen för varans pris om WTP har en likformig fördelning i intervallet [0,100] där n slumpmässigt valda personer deltar i budgivningen för n= 1, n = 2, n = 3, n = 4 och n =5.”

Integrationsgränsen är rätt, men förstår inte vad du menar när du säger den variationen. Du ska räkna ut V, tex genom att räkna ut E(y^2) med formeln som rapidos skrev och sen stoppa in i din formel.

Formuleringen blev lite fel ser jag, blev avbruten medan jag skrev så det blev lite snurrigt. Ursäkta!

För variansformeln V(y)=E(y^2)-(E(y))^2

Och det jag försökte säga är att jag har svårt att få fram E(y ^2), det känns som att jag förvirrar mig själv när det är så många steg på vägen från uppgift A fram till att jag ska ta fram variansen.

Tack igen för att ni tar er tiden, det är till enormt stor hjälp! Det här är förbi peaken på mina befintliga mattekunskaper, så jag försöker både lära mig matten och statistik på samma gång.

Har fått följande
$E (y^{2}) = \int_{0}^{100} y^{2} \cdot \frac{n y^{n - 1}}{100^{n}} d y = \frac{10000 n}{n + 2}$

Vilket i så fall resulterar i

$V (y) = E (y^{2}) - E {(y)}^{2} = (\frac{10000 n}{n + 2}) - {(\frac{n 100}{n + 1})}^{2}$
Om jag försöker putta in n=1 till n=5 ser det inte riktigt rätt ut dock.

Varför ser det inte riktigt ut?

Jag måste ha gjort något fel första gången, för när jag skrev in det nu fick jag ändå rimliga svar, och en successivt sjunkande varians. För beräkning fick jag diverse negativa tal innan, men jag måste gjort något fel vid själva beräkningen.

$n = 1, \frac{2500}{3} n = 2, \frac{5000}{9} n = 3, 375 n = 4, \frac{800}{3} n = 5, \frac{12500}{63}$

Ovanstående ser i alla fall rimligt ut, men jag vet inte om det är rätt såklart.

Tack igen för support!

Jag fick samma svar i Geogebra

Markera gärna högst upp attdu är nöjd med hjälpen. Tack

Tack för hjälpen!

[Edit]: Tog bort en liten kommentar om att jag eventuellt räknat fel, men jag måste ha missförstått vederbörande. Denne håller nu med om att jag gjort rätt.

Pizzakrydda skrev:
Tack för svar!
Försökte hålla mig kortfattad, så jag skippade första steget. Vilket är en uppgift jag redan frågat om, ifall ni vill spana in tidigare diskussioner.
..

Och här har vi en förklaring till att vi ber folk att bara göra en tråd om varje fråga. Det är ofta nästan omöjligt att tolka en fråga när men saknar den nödvändiga bakgrundsinformationen. /moderator

@Smaragdalena, hade inte för avsikt att ställa till det, men jag behövde förvisso bara hjälp med att fortsätta beräkningen/integreringen och hade angett tillräcklig information för detta.

Även om ursprung/kontexten var den samma som en tidigare fråga var det flera steg däremellan som jag inte behövde hjälp med, och sen fastnade jag vid en helt ny sorts beräkning. Den senare tillförda bakgrundsinformation bidrog dessutom inte till att föra denna beräkning vidare.

Svaret på hur man tar fram sannolikhetsfördelningen var ju utredd. Detta gällde varians för kontinuerliga stokastiska variabler, och att den formeln kändes väldigt knepig, men framförallt hade jag problem med integreringen. Kan tycka att det är två helt olika frågeställningar och fog för en egen rubrik?

Eftersom det uppenbarligen behövdes info från din första tråd i den här tråden, så anser jag att svaret är nej - men jag inser att det inte alltid är lätt att avgöra i förväg. En bra medelväg hade varit att länka till den gamla tråden i ditt förstainlägg. /moderator

Smaragdalena skrev:
Eftersom det uppenbarligen behövdes info från din första tråd i den här tråden, så anser jag att svaret är nej - men jag inser att det inte alltid är lätt att avgöra i förväg. En bra medelväg hade varit att länka till den gamla tråden i ditt förstainlägg. /moderator

Jag vet inte hur du gör, men jag brukar inte behöva härleda fördelningar för att räkna ut deras varians.. ;)

Svara

Visa senaste svar