Variabelsubstitution, hitta Integral genom att förlänga bråk

Om du utgår från ditt utvecklade uttryck nederst i din uträkning, så kan du sätta x=sinu

Vad får du om du utvecklar uttrycket nu och gör integralen med avseende på u, dvs du
Vilka integrationsgränser får du nu i uttryckt i vinkeln u (i radianer) ?

Henning skrev:

Om du utgår från ditt utvecklade uttryck nederst i din uträkning, så kan du sätta x=sinu

Vad får du om du utvecklar uttrycket nu och gör integralen med avseende på u, dvs du
Vilka integrationsgränser får du nu i uttryckt i vinkeln u (i radianer) ?

Tackar 

Jag har inte  förstått  varför man ska sätta ×=sinu 

Du märker det då du jobbar med beräkningarna - det blir hyfsat enkelt.

Och du får en intressant faktor då du deriverar med avseende på u -  $x=\sin u \Rightarrow \frac{dx}{du}=\cos u \Rightarrow dx=\cos u du$

Henning skrev:

Du märker det då du jobbar med beräkningarna - det blir hyfsat enkelt.

Och du får en intressant faktor då du deriverar med avseende på u -  $x=\sin u \Rightarrow \frac{dx}{du}=\cos u \Rightarrow dx=\cos u du$

Tack så mycket. Har löst det genom arcsinx ( vet inte om du menade denna väg, men när du sa sinx har jag sett derivatan av arcsinx efter förlängning med bråket. Sedan löste jag uppgiften (den andre termen) med hjälp av variabelsubstition . Svaret blev rätt enligt facit. 

Tack så mycket

Henning skrev:

Du märker det då du jobbar med beräkningarna - det blir hyfsat enkelt.

Och du får en intressant faktor då du deriverar med avseende på u -  $x=\sin u \Rightarrow \frac{dx}{du}=\cos u \Rightarrow dx=\cos u du$

Jag visar min lösningsvariant - kan vara av intresse även för andra läsare

Integrationsgränserna för de båda variablerna blir: $-1<x<1 vilket ger-\frac{\mathrm{\pi }}{2}<u<\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Uttrycket i x under integraltecknet är:  $\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

Med x=sin u blir det nu:  $\frac{1-\sin u}{\sqrt{1-{\sin }^{2}u}}·\cos u du$, som kan förenklas till  $\frac{1-\sin u}{\sqrt{{\cos }^{2}u}}·\cos u du=1-\sin u du$

Nu ser integralen ut så här:  ${\int }_{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}(1-\sin u)du$

Efter framtagning av primitiv funktion får vi:  $({u+cosu)}_{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}=(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+0)-(-\frac{\mathrm{\pi }}{2}+0)=\mathrm{\pi }$

Lite trixigt - men det speciella knepet var att gå över till en trigonometrisk funktion vid variabelsubstitutionen

Henning skrev:

Henning skrev:

Du märker det då du jobbar med beräkningarna - det blir hyfsat enkelt.

Och du får en intressant faktor då du deriverar med avseende på u -  $x=\sin u \Rightarrow \frac{dx}{du}=\cos u \Rightarrow dx=\cos u du$

Jag visar min lösningsvariant - kan vara av intresse även för andra läsare

Integrationsgränserna för de båda variablerna blir: $-1<x<1 vilket ger-\frac{\mathrm{\pi }}{2}<u<\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Uttrycket i x under integraltecknet är:  $\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

Med x=sin u blir det nu:  $\frac{1-\sin u}{\sqrt{1-{\sin }^{2}u}}·\cos u du$, som kan förenklas till  $\frac{1-\sin u}{\sqrt{{\cos }^{2}u}}·\cos u du=1-\sin u du$

Nu ser integralen ut så här:  ${\int }_{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}(1-\sin u)du$

Efter framtagning av primitiv funktion får vi:  $({u+cosu)}_{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}=(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+0)-(-\frac{\mathrm{\pi }}{2}+0)=\mathrm{\pi }$

Lite trixigt - men det speciella knepet var att gå över till en trigonometrisk funktion vid variabelsubstitutionen

Tack så mycket.