Variabelsubstitution

Uppgift: $\int$ $\frac{2 x + 1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$ $d x$

- Variabelsubstitution baseras på "derivering av sammansatta funktioner."

$K e d j e r e g e \ln : h (x) = f (g (x)) h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \times g^{'} (x)$

Variabelsubstitution, grundidén som jag tolkat den:

Upptäcka kedjeregeln i ett funktionsuttryck & skriva om denna på formen " $f^{'} (g (x)) \times g^{'} (x)$ "= $f (x)$ . Sedan integrera "derivatan" & få:

$\int f^{'} (g (x)) \times g^{'} (x) d x = F (g (x)) + C$

I min bok ska täljaren ses som funktionens inre derivata så: $g^{'} (x) = 2 x + 1 g (x) = x^{2} + x$

Hur kommer jag fram till $" f (g (x)) "$ ?

Hur går jag vidare? Boken säger att kedjeregeln ska tillämpas baklänges...

Vad är uppgiften?

Uppgiften är: $\int \frac{2 x + 1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$ $d x$

(Du bör ha ett dx där också.)

Om g(x) = x² + x, vad står det i nämnaren då?

$g (x)^{2}$

Nämnaren.

${(x^{2} + x)}^{2}$

Kan du uttrycka det som en funktion av g(x)?

När du redigerar dina inlägg, skriv samtidigt att du har gjort det och varför.

Du kan substetuera $u = x^{2} + x \leftrightarrow \frac{d u}{d x} = 2 x + 1 \leftrightarrow d x = \frac{d u}{2 x + 1}$ sätt in detta i din orginela funktion och få $\int \frac{2 x + 1}{(u)^{2}} \cdot \frac{d u}{2 x + 1} = \int \frac{(2 x + 1)}{(2 x + 1)} \cdot \frac{1}{u^{2}} d u = \int \frac{1}{u^{2}} d u$ detta är mycket simplare

$\int \frac{1}{u^{2}} = - \frac{1}{u}$ substetuera tillbacka x-värdet och få $- \frac{1}{u} = - \frac{1}{x^{2} + x}$ alltså $\int \frac{2 x + 1}{(x^{2} + x)^{2}} d x = - \frac{1}{x^{2} + x}$ v.s.v

1PLUS2, det står i Pluggakutens regler att man inte får "redigera ihjäl" ett inlägg, så att det inte syns varför (i det här fallet) Laguna saknade ett dx. DEt är helt OK att t ex skrivaq "EDIT: det skall naturligtvis vara ett dx också" efteråt. /moderator

Notera att derivatan av $x^2+x$ med avseende på $x$ är $2x+1$ som du kan skriva $\frac{d(x^2+x)}{dx} = 2x+1$ vilket gör att du formellt kan skriva (eftersom derivata i strikt mening inte är kvot mellan differentialer)

$(2x+1)\,dx = d(x^2+x)$

och integralen skrivs

$\displaystyle\int\frac{1}{(x^2+x)^2}\,d(x^2+x).$

Svara

Visa senaste svar