Variabelsubstitution

Jag ska lösa denna med variabel substitution och behöver hjälp 

${\int }_1^2\frac{e^{\sqrt{x+1}}}{\sqrt{x+1}}dx$

Jag är van att byta ut något mot en variabel u men i lösningsförslaget gjorde dom följande istället och jag undrar när/varför man använder f(t) och g'(x) istället för ett variabel byte med u och sen hur fortsätter man nu? $$\begin{gathered} \left\{f\left(t\right)=e^t \\ t =\sqrt{x+1} = g\left(x\right) \\ g\text{'}\left(x\right) = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x+1}} \\ x=1 \to \sqrt{2} \\ x=2\to \sqrt{3} \\ \right\} \end{gathered}$$