Variabelsubstition

$f(x,y) = \iint_D (x^2-y^2)e^{2xy}dxdy$ där $D={x^2+y^2 \le 1, y \in [-x, x] , x \ge 0}$

Jag har sånna problem med att rita upp funktioner överlag och jag förstår trixet med jakobinen (att försöka få en lättare funktion med hjälp av området) men när det kommer till tex, sånna här uppgifter, så blir det bara helt still.

funktionen $f(x,y)$ här antar jag blir krångligt, så då tittar jag på området och skissar den? (Ska man alltid utgå från att skissa området?) eller funktionen? eller är beror det på?

området D tänker jag iallfall att det är

$x^2+y^2 \le 1$ säger att det är en cirkel med radie = 1
[-x,x] säger att vi ska titta på området som går upp och ned i x axeln endast
men så ska vi bara titta på de positiva x delarna eftersom vi har $x \ge 0$ ?

Då skulle jag säga att vi rör oss i första kvadranten i en cirkel?

Och eftersom vi har en cirkel, ska vi gå över till polära koordinater? och då blir funktionaldeterminaten:

som kommer bli r*(trigettan). alltså bara $r$ ? och sen gå över till $f(x,y)$ och skriva om de till polära? och då blir området $[0, \frac{\pi}{2}]$ och $[0,1]$ ?

Rita upp linjerna y=x och y =-x. Det blir nog inte riktigt första kvadranten. Annars håller jag med om resten.

Micimacko skrev:
Rita upp linjerna y=x och y =-x. Det blir nog inte riktigt första kvadranten. Annars håller jag med om resten.

Smart.. Men hur skulle man skriva jacobianien här?

kollar man funktionen eller området?

Den hör ihop med variabelbytet. Och det är ju samma, bara lite nya gränser.

Micimacko skrev:
Den hör ihop med variabelbytet. Och det är ju samma, bara lite nya gränser.

Så smartast borde det vara att $u = x^2+y^2$ och $v=xy$ ?

Om något annat variabelbyte funkar bättre vet jag inte. Testa? Annars kanske någon annan vet.

Börja med att rita upp området och lägg upp bilden här.

Smaragdalena skrev:
Börja med att rita upp området och lägg upp bilden här.

Markera vilken del av din bild som är området D.

Substitutionen

$u=x^2+y^2$

$v=2xy$

Är väldigt vacker i den här uppgiften (och förmodligen den substitution uppgiftsmakaren tänkt sig). Men det går lika bra med en vanlig polär substitution.

$x=r\cos(\theta)$

$y=r\sin(\theta)$

Fördelen med den första substitution är att den ger en enklare integral, men kanske är det lite svårare att hitta integrationsgränserna för $v$ .

Fördelen med den andra substitutionen är att det är lätt att identifiera gränserna för området, men den resulterande integralen kräver kanske ett litet trick.

Vilken substitution man väljer är en smaksak. Jag skulle rekommendera den första. Det är en lösning man blir glad av! Den andra substitutionen är mer typtalsbetonad och lite grådaskig imho.

Svara

Visa senaste svar