Variabelsubsitution Integral av typ Squarerrot(x^2+a^2)

Det räcker om du kan hantera $\int \sqrt{1+x^2}\,dx$ eftersom

    $\displaystyle\int \sqrt{x^2+a^2}\,dx = |a|\int\sqrt{(x/a)^2+1}\,dx =\{y=x/a\} = a^2\text{sign}(a)\cdot \int\sqrt{1+y^2}\,dy.$

Med $x=\tan u$ blir $dx = (1+x^2)du$ och

    $\sqrt{1+x^2}\,dx = (1+\tan^2u)^{1.5}\,du = \frac{1}{\cos^3 u}\,du.$

Albiki skrev:

Det räcker om du kan hantera $\int \sqrt{1+x^2}\,dx$ eftersom

    $\displaystyle\int \sqrt{x^2+a^2}\,dx = |a|\int\sqrt{(x/a)^2+1}\,dx =\{y=x/a\} = a^2\text{sign}(a)\cdot \int\sqrt{1+y^2}\,dy.$

Det var inte just den lösningen som jag tänkt mig utan jag vill helst lyckas arbeta mig fram med den subsitutionen jag påbörjat som jag tror ska kunna bära frukt. Tack ändå dock, jag ska titta på ditt förslag också.

Jonto skrev:

$\int \sqrt{x^2+a^2 }dx=$ $\int a\sqrt{1+{\tan }^2\theta } ·a(1+{\tan }^2\theta ) d\theta$

Det ser ju ut som det går år rätt håll eftersom båda faktorerna är liknande varandra. Men hur kommer jag vidare till någon trigonometrisk funktion som går lätt att integrera?

Om du tittar på det Albiki visat dig ser du att:

$1+{\tan }^2\left(\theta \right)=\frac{1}{{\cos }^2\left(\theta \right)}$

För in denna relation i ditt resultat.

Ah, tack båda, såg inte det andra inlägget innan jag svarade, nu blev det klarare.

Substitutionen med $x=a\tan(\theta)$ leder så småningom till den ganska så hemska integralen:

$\displaystyle\int\frac{1}{\cos^3(\theta)}\ d\theta$

vars lösning är så krånglig och svår att komma på att många helt enkelt bara kollar upp denna integral i en tabell när den uppkommer.

Jag vill då istället föreslå ett alternativ om man är bekant med hyperboliska trigfunktioner. Det är nämligen så att substitutionen $x=a\sinh(t)$ lämpar sig väl vid denna typ av integral då vi har identiteten $1+\sinh^2(t)=\cosh^2(t)$. Man hamnar då till slut i den betydligt enklare integralen:

$\displaystyle\int\cosh^2\left(t\right)\ dt$

som kan lösas antingen med identiteten $\cosh^2(t)=(1+\cosh(2t))/2$ eller exponentialdefinitionen av $\cosh(t)$.

AlvinB skrev:

Substitutionen med $x=a\tan(\theta)$ leder så småningom till den ganska så hemska integralen:

$\displaystyle\int\frac{1}{\cos^3(\theta)}\ d\theta$

vars lösning är så krånglig och svår att komma på att många helt enkelt bara kollar upp denna integral i en tabell när den uppkommer.

Jag vill då istället föreslå ett alternativ om man är bekant med hyperboliska trigfunktioner. Det är nämligen så att substitutionen $x=a\sinh(t)$ lämpar sig väl vid denna typ av integral då vi har identiteten $1+\sinh^2(t)=\cosh^2(t)$. Man hamnar då till slut i den betydligt enklare integralen:

$\displaystyle\int\cosh^2\left(t\right)\ dt$

som kan lösas antingen med identiteten $\cosh^2(t)=(1+\cosh(2t))/2$ eller exponentialdefinitionen av $\cosh(t)$.

Tack för inputen. Jag lyckades faktiskt lösa $\int se{c}^3\theta d\theta$genom att skriva om den som $\int se{c}^2\theta ·sec \theta d\theta$och partialintegreraoch laborera lite med ekvationen som uppstod,men det är klart att det inte var supersmidigt.

Jag ska testa med ditt substitutionsförslag också, tack så mycket :)