Variabelbytet t=tan x för 0≤x≤2π

Försöker räkna ut ${\int }_0^{2\pi }\frac{dx}{3{\cos }^{2}x+1}$och integranden är positiv så det borde integralen också bli.

${\int }_0^{2\pi }\frac{dx}{1+{\displaystyle \frac{3}{1+{\tan }^{2}x}}}={\int }_0^{2\pi }\frac{{\tan }^{2}x+1}{{\tan }^{2}x+4}dx$och nu vill jag göra variabelbytet $t=\tan x, dt=(1+{\tan }^2 x)dx$men hur blir det med gränserna för $t$? $\tan 0 =\hspace{0.17em}\tan (2\pi ) = 0$men integralen kan inte ha gränsena $0\le t\le 0$för integralen ska vara positiv. Jag vet att tan x inte är definerad för π/2 och 3π/2 så det kanske inte går att göra variabelbytet?