Variabelbyte linjär algebra

Alla tre ekvationerna är egentligen samma. Om du tex multiplicerar första ekvationen med -1 så får du den sista ekvationen.

Så du kan välja en ekvationsrad och lösa den. Två variabler kan väljas fritt och den tredje variabeln bestäms av ekvationen.

PATENTERAMERA skrev:

Alla tre ekvationerna är egentligen samma. Om du tex multiplicerar första ekvationen med -1 så får du den sista ekvationen.

Så du kan välja en ekvationsrad och lösa den. Två variabler kan väljas fritt och den tredje variabeln bestäms av ekvationen.

Hmm okej, hur fortsätter jag?

Vi kan skriva $Q\left(\overrightarrow{x}\right)={\overrightarrow{x}}^{T}A\overrightarrow{x}$. $\overrightarrow{x}={\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\end{array}\right]}^T$.

Säg att du tagit fram en ON-bas ${\left({\overrightarrow{e}}_i\right)}_{i=1}^3$ av egenvektorer till A. Vi kan uttrycka $\overrightarrow{x}$ mha ON-basen. $\overrightarrow{x}=\sum _{k=1}^3{\alpha }_k{\overrightarrow{e}}_k$.

$Q\left(\overrightarrow{x}\right)={\left(\sum _{i=1}^3{\alpha }_i{\overrightarrow{e}}_i\right)}^{T}A\left(\sum _{j=1}^3{\alpha }_j{\overrightarrow{e}}_j\right)=\left(\sum _{i=1}^3{\alpha }_i{\overrightarrow{e}}_i^T\right)\left(\sum _{j=1}^3{\alpha }_j{\lambda }_j{\overrightarrow{e}}_j\right)=\sum _{i, j}{\alpha }_i{\alpha }_j{\lambda }_j{\overrightarrow{e}}_i^T{\overrightarrow{e}}_j=\sum _{i=1}^3{\lambda }_i{\alpha }_i^2$.

Om vi ser koordinaterna (alfana) för $\overrightarrow{x}$ i ON-basen som nya variabler så får vi således diagonalform på Q.

$Q\left(\overrightarrow{\alpha }\right)={\overrightarrow{\alpha }}^T\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& 0& 0\\ 0& {\lambda }_2& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3\end{array}\right]\overrightarrow{\alpha }$. $\overrightarrow{\alpha }={\left[\begin{array}{ccc}{\alpha }_1& {\alpha }_2& {\alpha }_3\end{array}\right]}^T$.

Tillägg: 27 dec 2024 15:51

Så vad du nu behöver göra att ta fram ON-basen.

Jag tolkar din första fråga som att du inte hänger med på hur de har hittat lösningen till ekvsysemet i facit. Jag kanske förklarar det självklara här men jag kör på ändå. 

Det är "samma" ekvation 3 gånger, precis som patenteramera säger. Det betyder att lösningen har 2 fria parametrar vilket man geometriskt kan tolka som ett 2-D-plan i R³. I facit har de hittat 2 linjärt oberoende vektorer i detta plan, u=(1 0 1) och v=(1 -2 0). D.v.s. u och v är lösningar till systemet. Alla lösningar till systemet är då en linjärkombination av u och v. Hur de har hittat u och v vet jag inte. Kanske genom inspektion. Men det är inte så viktigt. Du kan lösa systemet hur du vill och parametrisera planet hur du vill. 

Din andra fråga, hur man fortsätter har nog patenteramera i princip svarat på även om ni  ligger på helt olika kunskapsnivåer. 

Efter att ha tittat på vart det där ekvationssystemet kommer ifrån så verkar det komma från egenvärdesproblemet med egenvärdet 9 insatt. I så fall är mitt lekmannatips att hitta en ON-bas i lösningsplanet och sedan kryssmultiplicera ihop dem för att få en ON-bas i R³. Då har du troligen kolonnerna i T som diagonaliserar den kvadratiska formen.