Variabelbyte i dubbelintegral

Jag har försökt lösa dubbelintegralen

$\int \int_{D} \frac{x - y + 1}{x + y} d x d y$ där $D$ bestäms av att $1 \leq x + y \leq 2 x - 4 y \leq 3 .$

Jag försökte lösa den med variabelbytet $1 \leq x + y = u \leq 3$ och eftersom $1 \leq 2 x - 4 y \leq 3$ så borde

$1 + 1 = 2 \leq x + y + 2 x - 4 y = 3 x - 3 y \leq 3 + 3 = 6$ , alltså $\frac{2}{3} \leq x - y = v \leq 2$ .

$\{\begin{cases} u = x + y \\ v = x - y \end{cases}, \frac{d (u, v)}{d (x, y)} = |\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}| = - 2$ . Då borde skalfaktorn bli $\frac{1}{2} .$

Men integralen $\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \int_{2 / 3}^{2} \frac{v + 1}{u} d v d u$ är fel och jag har dessutom dubbelkollat med Wolfram Alpha så felet gör jag någonstans i variabelbytet.

Har du börjat med att ritat upp området D? I så fall hade du sett att variabelbytet borde ha blivit u = x+y och v = x-2y.

Svara