variabelbyte dubbelintegral

Hej

jag har en uppgift som jag har kommit en bit påväg men har fastnat och skulle behöva lite hjälp.

Uppgiften är:

Beräkna $\iint_{D} \ln (1 + x^{2} + y^{2}) d x d y$

där integrationsområdet D= $\{(x, y) : 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 2\}$

Jag började med att gå över till cylindriska koordinater och får då $x = r \cos θ y = r \sin θ$

Då blir det nya integrationsområdet $D = \{(r, θ) : 1 \leq r^{2} \leq 2 o c h 0 \leq θ \leq 2 π\}$

I nästa steg ska vi integrera $I = \iint_{D} \ln (1 + r^{2}) r d r d θ$ men jag har lite svårt att få fram integrationsgränserna

Du vet att $1 \leq r^{2} \leq 2$ . Vad har du då för gränser för $r$ ?

Nu förstår jag, jag tänkte fel, blir det inte $I = \int_{1}^{\sqrt{2}} \int_{0}^{2 π} r \ln (1 + r^{2}) d θ d r$ ?

Sedan ska man alltså integrera i theta led först och kan då sätta $I = \int_{1}^{\sqrt{2}} 2 π r \ln (1 + r^{2}) d r$

men sedan förstår jag inte riktigt hur man ska gå vidare i nästa steg?

Inför variabelbytet $s=1+r^2$ , vilket är legitimt eftersom funktionen är strängt växande på intervallet $[0, \sqrt{2}]$ .

Använd sedan partiell integration för att bestämma integralen

$\int \ln s d s$ .

så får vi då $s = 1 + r^{2}$ och ds=2r ? då får vi gränserna att då r=1 blir s= $1 + 1 = 2$ och då r= $\sqrt{2}$ blir s=3 så får vi då de nya integrationsgränserna $\int_{2}^{3}$ ?

men jag är lite osäker på om ds=2r blir rätt

Du har alltså svårt att derivera funktionen $1 + r^{2}$ ?

nej men jag såg ett likande exempel då man skulle få ds=2rdr och inte ds=2r så jag var osäker på man ska ha med 2rdr eller bara 2r

En annan sak: Cylinderkoordinater är tredimensionella, men du arbetar i två dimensioner. Lär dig att dessa koordinater kallas planpolära koordinater.

K.Ivanovitj skrev:
nej men jag såg ett likande exempel då man skulle få ds=2rdr och inte ds=2r så jag var osäker på man ska ha med 2rdr eller bara 2r

Du känner alltså inte till att derivata kan skrivas som $\frac{d s}{d r}$ ?

Albiki skrev:
K.Ivanovitj skrev:
nej men jag såg ett likande exempel då man skulle få ds=2rdr och inte ds=2r så jag var osäker på man ska ha med 2rdr eller bara 2r
Du känner alltså inte till att derivata kan skrivas som $\frac{d s}{d r}$ ?

jo det vet jag om.

K.Ivanovitj skrev:
Albiki skrev:
K.Ivanovitj skrev:
nej men jag såg ett likande exempel då man skulle få ds=2rdr och inte ds=2r så jag var osäker på man ska ha med 2rdr eller bara 2r
Du känner alltså inte till att derivata kan skrivas som $\frac{d s}{d r}$ ?
jo det vet jag om.

Jaha, så om $\frac{ds}{dr}=2r$ så kan man skriva (formellt) att $d s = . . .$

okej jag är med på hur vi går från $\frac{d s}{d r} = 2 r$ till $d s = 2 r d r$ genom att multiplicera båda led med dr och då kan vi skriva om integralen $\int_{1}^{\sqrt{2}} 2 π r \ln (1 + r^{2}) d r$ till $\int_{2}^{3} π \ln (s) d s$ då vi får gränsvärdena genom att sätta in r=1 och r $= \sqrt{2}$ i s= $(1 + r^{2})$

K.Ivanovitj skrev:
okej jag är med på hur vi går från $\frac{d s}{d r} = 2 r$ till $d s = 2 r d r$ genom att multiplicera båda led med dr och då kan vi skriva om integralen $\int_{1}^{\sqrt{2}} 2 π r \ln (1 + r^{2}) d r$ till $\int_{2}^{3} π \ln (s) d s$ då vi får gränsvärdena genom att sätta in r=1 och r $= \sqrt{2}$ i s= $(1 + r^{2})$

Nästa steg blir den partiella integrationen som jag skrev om tidigare i tråden.

okej då har jag nog löst uppgiften nu jag fick fram rätt svar tillslut, men jag är bara lite osäker på hur man ska rita upp integrationsområdet D $= \{(r, θ) : 1 \leq r^{2} \leq 2, 0 \leq θ \leq 2 π\}$ jag har skissat området $D = \{(x, y); 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 2\}$ men hur förändras det efter variabelbytet?

Efter variabelbytet är området en rektangel. Det är $r$ som skall gå från nedre gränsen till den övre gränsen, inte $r^2$ - alltså behöver du justera den övre gränsen.

Svara

Visa senaste svar