Variabelbyte

Vilken substitution man ska göra är inte självklart, man får prova med något som verkar lovande, funkar inte det får man prova ngt annat.

Dessutom är

$\sqrt{2}ds =\hspace{0.17em}-\sin \left(t\right)dt$

i din uppgift, eftersom

$$\begin{gathered} \sqrt{2}s =\hspace{0.17em}\cos \left(t\right) => \\ s = \frac{\cos \left(t\right)}{\sqrt{2}} \end{gathered}$$

om du deriverar ned avseende på t får vi 

ds/dt = $-\sin \left(t\right)/\sqrt{2}$

som vi förenklar till $\sqrt{2}ds =\hspace{0.17em}-\sin \left(t\right)dt$

När vi sätter in allt i integralen blir det riktigt trevligt

Du kan använda s = cos(t) lika gärna, det blir ganska likt.

Ett sätt att se att detta variabelbyte är lovande är att först konstatera att under roten står cos, och cos under en rot är vi inte så vana vid, vi brukar ju hellre vilja ha polynom (för det är ju mer vana vid). Så det skulle kunna indikera att exempelvis s=cos(t) är lämpligt. Om du dessutom byter plats på sin och roten står det sin(t)dt, och om du då gör ett byte i stil med s=cos(t) blir det enligt den princip som Ture visar att ds=-sin(t)dt, så du kan alltså ersätta sin(t)dt med ds. Och då har du allting uttrycket i den nya variabeln