variabelbyte

Det som blir lite fel är att du inte har tagit fram ett uttryck för $\displaystyle \mathrm{d}x$.

Om $t=2x+1$ kommer $\displaystyle \mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}t$.

Och den nedre gränsen borde väl vara 1?

Hur löser jag denna annars med variabelbyte?

Ja, 9 och 1.

Exakt som du har gjort nu, men då måste byta ut $\mathrm{d}x$ också!

$\displaystyle \int_{0}^{4}\frac{1}{2x+1}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int_{1}^{9}\frac{1}{t}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}(\ln9-\ln1)=\frac{1}{2}\ln9$

Ah okej, vad menar du med att byta ut dx? Varför blir det 1/2?

Förstår dock att vi har x involverat (2x+1).. Men har du lust att förklara mer hur det fungerar?

Ja, alltså du hade bara bytt ut $2x+1$ mot $t$ och inte gjort något med differentialen. Så som du har räknat har du gjort om integralen till:

$\displaystyle \int_{x=0}^{x=4}\frac{1}{2x+1}\mathrm{d}x=\int_{t=1}^{t=9}\frac{1}{t}\mathrm{d}x$

Men ser du att vår variabel i integranden är $t$ medan vår differential har ett $x$ i sig? Vi vill ju att det ska stå något med $\mathrm{d}t$ där istället. Och sambandet mellan $\mathrm{d}t$ och $\mathrm{d}x$ är som jag skrev i inlägg #2. Byt ut $\mathrm{d}x$ mot det det är lika med uttryckt i $t$ och se vad som händer. Det är därifrån faktorn 1/2 kommer!

Ah okej, tror jag fattar. Men vad menar du med "differentialen"?  Vi har inte läst om differentialekvationer än, eller det kanske inte har något med det och göra?

$\mathrm{d}x$ är en differential. $\mathrm{d}t$ också. Det har inget med diffekvationer att göra.

Ah okej om jag förstår dig rätt så är det att man vill "ha x ensamt"? typ

Tillägg: 31 jan 2024 22:19

Eller rättare sagt att man måste ha hänsyn till dx också

Nej, nu förstår jag inte vad du menar. Vi vill skriva om integralen i termer av $t$. Då måste vi dels:

• Skriva om integreringsgränserna i termer av $t$
• Skriva om integranden i termer av $t$
• Skriva om differentialen så vi får ett $\mathrm{d}t$ i slutet istället för ett $\mathrm{d}t$

naytte skrev:

Nej, nu förstår jag inte vad du menar. Vi vill skriva om integralen i termer av $t$. Då måste vi dels:

• Skriva om integreringsgränserna i termer av $t$
• Skriva om integranden i termer av $t$

Detta är jag med på.

• Skriva om differentialen så vi får ett $\mathrm{d}t$ i slutet istället för ett $\mathrm{d}t$

Ja istället för dx, basic fråga men hur går man tillväga för att göra det? 

 $\displaystyle t=2x+1\implies \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=2\implies \mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}t$

Hur är dt/dx = 2?

Derivatan av t med avseende på x. Samma sak som derivatan av 2x+1 med avseende på x. Det är väl inte konstigt?  

Aha. My bad. Tack

Ingen orsak! 

Notera dock att när vi gör detta så betraktar vi differentialerna heuristiskt. Det är inte helt trivialt att man kan göra det (skriver GA på detta t.o.m.). Du kan läsa om härledningen till variabelsubstitution här: https://sv.wikipedia.org/wiki/Integration_genom_substitution