variabelbyte

Hej

jag behöver hjälp med att hitta de primitiva funktionerna till:

$\frac{1 + \sqrt{x + 1}}{1 - \sqrt{x + 1}}$ då x>-1

Jag började med variabelbytet $t = \sqrt{x + 1} d t = \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} d t$

Då kan man skriva om funktionen till $2 \int \frac{1 + t}{1 - t} d t$ och sedan satte jag $2 \int \frac{1}{1 - t} + \int \frac{t}{1 - t} d t$ = $2 \ln |1 - t| + \int \frac{t}{1 - t} d t$ men sedan har jag fastnat, ska man göra ett nytt variabelbyte för 1-t? tex $u = 1 - t d u = - d t$ då får vi $\frac{- u + 1}{u}$

$d t = \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} d x$

ja jag såg att det blev fel där, men hur tar man sig vidare efter 2ln(1-t)+ $\int \frac{t}{1 - t} d t$

$\frac{t}{1 - t} = \frac{t - 1 + 1}{1 - t} = \frac{t - 1}{1 - t} + \frac{1}{1 - t} = - 1 + \frac{1}{1 - t} = \frac{1}{1 - t} - 1$

Hej!

Jag börjar med att utnyttja att täljare och nämnare är väldigt lika varandra.

$\frac{1+\sqrt{x+1}}{1-\sqrt{x+1}} = \frac{(1+\sqrt{x+1})^2}{1-(x+1)} = - \frac{1+2\sqrt{x+1} + x+1}{x} = -\frac{2}{x} - 1 - 2\frac{\sqrt{x+1}}{x}\ .$

Att hitta en primitiv funktion till de två första termerna är enkelt. Problemet är nu att bestämma

$\int \frac{\sqrt{x+1}}{x}\,\text{d}x\ .$

Albiki

Hej!

Med partiell integration får jag

$\int 1 \cdot \frac{\sqrt{1+x}}{x}\,\text{d}x = x \cdot \frac{\sqrt{1+x}}{x} - \int x \cdot (\frac{x}{2\sqrt{1+x}}-\sqrt{1+x})/x^2\,\text{d}x\ .$

Albiki

Hej!

Jag putsar till resultatet av den partiella integrationen.

$\int \frac{\sqrt{1+x}}{x}\,\text{d}x = \sqrt{1+x} - \int \frac{1}{2\sqrt{1+x}}\,\text{d}x + \int\frac{\sqrt{1+x}}{x}\,\text{d}x\ .$

Eftersom det gäller att

$\int \frac{1}{2\sqrt{1+x}}\,\text{d}x = \sqrt{1+x}$

så ger just denna partiella integration bara att $0 = 0$ , vilket inte är en överraskning!

Albiki

Svara

Visa senaste svar