Variabelbyte

Hej

Detta är en fysikuppgift egentligen men eftersom jag har problem med själva variabelbytet och inte fysiken så ställer jag den inom matematik kategorin istället.

Frågan lyder:

Show that the transition dipole moment $p_{a b} = 0$ for transitions from H(1s) to H(2s). Use the H-wave functions

$Ψ (\vec{r}) = \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- r} o c h Ψ (\vec{r}) = \frac{1}{4 \sqrt{2 π}} (2 - r) e^{- \frac{r}{2}}$

Hint: $<p_{a b}> = \int Ψ^{*} {\hat{p}}_{a b} Ψ d τ$ and think about the coordinate system.

På lösningsförslaget så räknar de ut x, y och z-komponenterna var för sig själv och det förstår jag men förstår inte hur de får:

${<p_{a b}>}_{x} = - \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4 π \sqrt{2}} e^{- r} \sin θ \cos ϕ (2 - r) e^{- \frac{r}{2}} r^{2} \sin θ d r d θ d ϕ$

och de gör exakt samma sak för y och z delen.

Jag förstår inte riktigt vad $d τ$ är och hur jag ska göra om den så att jag får detta.

De har lagt till den här termen: $\sin θ \cos ϕ r^{2} \sin θ d r d θ d ϕ$ och jag förstår inte riktigt hur man får den

Skulle uppskatta all hjälp!

Lägesvektorn i sfäriska koordinater ges av

$\mathbf{r}(r, \theta, \varphi)=(r\sin\theta\cos\varphi,\,r\sin\theta\sin\varphi,\, r\cos\theta)$ , där tangentbasvektorerna ges av

$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r}=(\sin \theta\cos\varphi\, , \sin\theta\sin\varphi\, ,cos\theta)$

et.c.

Det betyder att volymelementet blir

$\displaystyle dV=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r}\cdot(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi})\,drd\theta d\varphi=r^2\sin\theta\,drd\theta d\varphi$

Förhoppningsvis innehåller din bok en förklaring till varför man får väntevärdet om man lägger operatorn mellan vågfunktionerna och vad det är tänkt att du ska stoppa in mellan $<\psi_f|\mathbf{\hat{r}}|\psi_i>$ , men en ledtråd är att $x=r\sin\theta\cos\varphi$ , se ovan :)

Guggle skrev:
Lägesvektorn i sfäriska koordinater ges av
$\mathbf{r}(r, \theta, \varphi)=(r\sin\theta\cos\varphi,\,r\sin\theta\sin\varphi,\, r\cos\theta)$ , där tangentbasvektorerna ges av
$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r}=(\sin \theta\cos\varphi\, , \sin\theta\sin\varphi\, ,cos\theta)$
et.c.
Det betyder att volymelementet blir
$\displaystyle dV=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r}\cdot(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi})\,drd\theta d\varphi=r^2\sin\theta\,drd\theta d\varphi$
Förhoppningsvis innehåller din bok en förklaring till varför man får väntevärdet om man lägger operatorn mellan vågfunktionerna och vad det är tänkt att du ska stoppa in mellan $<\psi_f|\mathbf{\hat{r}}|\psi_i>$ , men en ledtråd är att $x=r\sin\theta\cos\varphi$ , se ovan :)

Nu förstår jag!

Tack så mycket!

Nu förstår jag!

Svara