variabelbyte

Hej

jag har en uppgift där jag ska ta fram gränsvärdet till följande funktion:

$\frac{l i m}{x \to - \infty} (x + \sqrt{x^{2} - 3 x})$

jag tänkte använda variabelsubstitution och sätta t=-x

$\frac{l i m}{t \to \infty} (- t + \sqrt{t^{2} + 3 t})$ sedan förlängde jag med konjugatet och fick $\frac{(- t + \sqrt{t^{2} + 3 t}) (- t - \sqrt{t^{2} + 3 t})}{(- t - \sqrt{t^{2} + 3 t})} = \frac{- t^{2} + t^{2} + 3 t}{- t - \sqrt{t^{2} + 3 t}} = \frac{3 t}{- t - \sqrt{t^{2} + 3 t}}$

Sedan tänkte jag att den ledande termen i nämnaren är t och då ställa upp det som $\frac{t}{t} \frac{3}{- 1 - \sqrt{1 + \frac{3}{t}}} = \frac{3}{- 2}$

men någonstans gör jag fel eftersom svaret ska bli 3/2 så det blir fel tecken i nämnaren.

Tänk på att:

$\sqrt{t^{2} + a t} = | t | \sqrt{1 + \frac{a}{t}}$

får vi då $\frac{t}{t} \frac{3}{- 1 + 1 \sqrt{1 + \frac{3}{t}}}$ men det blir ju ändå inte 3/2

Använd tomast80:s tips direkt på gränsvärdet utan variabelsubstitution.

ska man då sätta $\frac{3 x}{x + |x| \sqrt{1 - \frac{3}{x}}} = \frac{x}{x} \frac{3}{1 + 1 \sqrt{1 - \frac{3}{x}}}$

Till slut skall du hamna där, men du måste redovisa alla steg på vägen (åtminstone tillräckligt många för att man skall kunna förstå hur du har tänkt).

Hej!

Istället för variabelbytet kan du helt enkelt bara förlänga med konjugatuttrycket.

$x+\sqrt{x^2-3x}=\frac{3x}{x-|x|\sqrt{1-3/x}} = \frac{3}{1-sign(x)\sqrt{1-3/x}},$

där $sign(x) = -1$ om $x<>$ och $sign(x) = 1$ om $x>0$ ; här är $x$ ett stort negativt tal så $sign(x) = -1$ vilket ger uttrycket

$\frac{3}{1+\sqrt{1-3/x}}.$

Svara

Visa senaste svar