Variabel substitution i primitiva funktioner och injektivitet

Från Analys i en variabel av A. Persson och L-C. Böiers (3:e upplagan), s.264 finner man följande sats:

"Sats 2. (Variabel substitution) Antag att g är en deriverbar funktion. Då är

$\int f (x) d x = {[\int f (g (t)) \cdot g' (t) d t]}_{t = g^{- 1} (x)}$

och

$x = g (t)$

där g är injektiv, dvs. g har en invers $t = g^{- 1} (x)$ .

Indexet $t = g^{- 1} (x)$ i första raden indikerar återsubstitutionen från t till x."

Min fråga är om verkligen x=g(t) alltid behöver vara injektiv? I sidan 284 finner man följande exempel:

Där lägger dom till kriteriet |t| < pi/2 så att x = tan t blir injektivt, men behövs det verkligen? Vi gör ju ingen återsubstitution av typen $t = g^{- 1} (x)$ som det sägs i satsen ovan.

Är injektivitet något man istället bör kolla fall till fall för primitiva funktioner?

All hjälp uppskattas!

Jag lärde mig också från Person-Böiers att en vatiabelsubstitution ska vara injektiv, men efter en snabb undersökning på internet verkar det inte behövas. Däremot behöver funktionen x = g(t) vara styckvis kontinuerligt deriverbar. Någon annan som vet mer om detta får gärna rätta mig/fylla i detaljer.

(Bumpar tråden, pga brist på svar)

Jag tror som parveln, jag har alltid gjort variabelbyten i integraler hippsomhapp, får inga problem. Det där med styckvis deriverbar är för att försäkra om att man substituerar relativt normala funktioner, alltså elementära funktioner.

Qetsiyah skrev:
Jag tror som parveln, jag har alltid gjort variabelbyten i integraler hippsomhapp, får inga problem. Det där med styckvis deriverbar är för att försäkra om att man substituerar relativt normala funktioner, alltså elementära funktioner.

Aa okej tack, kanske inte är så viktigt att gräva in i detaljer här, kanske orsakar mer skada än fördel haha

Svara

Visa senaste svar