Varför (Why why why) detA kan beräknas med detta formeln?

Formeln i fråga gäller beräkningar av en determinant i en matris $n \times n$ :

$d e t A = \sum_{j = 1}^{n} {(- 1)}^{1 * + j} a_{i j} d e t {A_{i j}}_{* *} K o m m e n t a r : * \det är nog när vi utvecklar efter rad 1 ? Annars b o r d e d e t s t å i + j ? * * eftersom vi strycker rad i och j för att få en lite mindre matris att jobba med, varför blir \det inte n - i o c h n - j istället ?$

Jag såg att det fungerar igenom många exempel.

1. varför använder vi ${(- 1)}^{i + j}$ ?

2. varför multiplicerar vi med talet $a_{i j}$ ?

3. och varför till slut multiplicerar vi med en determinant på en mindre matris -där vi har strukit raden $i$ och $j$ ?

Finns det något intuitiv och geometrisk förklaring för det? Vad gör vi egentligen med matrisen när vi applicerar detta formel?

Bidrar med en video så länge:

Determinant

som ingår i en youtubeserie som kan ge ett lite annorlunda perspektiv och lite intuition för vad man håller på med: Essence of linear algebra

Hej!

Du har skrivit litet fel när du citerade Laplaces utvecklingssats. Determinanten för en kvadratisk matris av typ $n \times n$ kan beräknas med hjälp av kofaktorer genom att utveckla determinanten längs rad nummer $i$ enligt

$\det A = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij} \det A_{ij}\ ,$

där kofaktorerna är $\det A_{ij}\ .$

Utvecklingssatsen bygger på hur begreppet determinant är definierat.

$\det A = \sum_{p \in S_{n}}\text{sign}(p)a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}$

där $p = (p_{1},p_{2},\ldots,p_{n})$ är en permutation av listan $(1,2,\ldots,n)$ och permutationens signum $\sign(p)$ bestäms av antalet inversioner hos permutationen $p$ : om antalet inversioner hos $p$ är jämnt så är $\sign(p) = 1$ , annars är $\sign(p) = -1.$ Determinanten är en summa av $n!$ stycken termer, eftersom n! är antalet element hos den symmetriska gruppen $S_{n}\ .$

Albiki

pi-streck=en-halv skrev :
Bidrar med en video så länge:
Determinant
som ingår i en youtubeserie som kan ge ett lite annorlunda perspektiv och lite intuition för vad man håller på med: Essence of linear algebra

Tack pi-streck=en-halv! Förlåt för sen svar, hade jätte mycket idag.

Jag såg denna playlist och kollade upp till Eigen nånting nånting. Det kändes skönt med mer visuell teori, vi bara har satser och formler på kursen :(

Tveka inte att skicka mer videor du tycker är bra!

Albiki skrev :
Hej!
Du har skrivit litet fel när du citerade Laplaces utvecklingssats. Determinanten för en kvadratisk matris av typ $n \times n$ kan beräknas med hjälp av kofaktorer genom att utveckla determinanten längs rad nummer $i$ enligt
$\det A = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij} \det A_{ij}\ ,$
där kofaktorerna är $\det A_{ij}\ .$
Utvecklingssatsen bygger på hur begreppet determinant är definierat.
$\det A = \sum_{p \in S_{n}}\text{sign}(p)a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}$
där $p = (p_{1},p_{2},\ldots,p_{n})$ är en permutation av listan $(1,2,\ldots,n)$ och permutationens signum $\sign(p)$ bestäms av antalet inversioner hos permutationen $p$ : om antalet inversioner hos $p$ är jämnt så är $\sign(p) = 1$ , annars är $\sign(p) = -1.$ Determinanten är en summa av $n!$ stycken termer, eftersom n! är antalet element hos den symmetriska gruppen $S_{n}\ .$
Albiki

Tack för svaret Albiki. Jag måste fundera lite till den här inversionbegrep. Varför måste p inverteras överhuvudtaket? (oj nu har jag inte funderat utan frågat direkt)

Svara

Visa senaste svar