Varför ska man kolla om derivatan är noll?

Hej, varför ska man kolla om derivatan är noll?
https://gyazo.com/6bb45c5a01f82b5a9ca92397267e10bd
Två kriterium (korrigera mig gärna om jag missförstått deras funktion):

1) Vi vill vara säkra på att dels funktionsvärde är del av definitionsmängden, annars är inte en differensekvation definierad för alla n, där n är ett heltal, då vi inte kan stoppa in funktionsvärdet i funktionen igen då det inte skulle tillhöra definitionsmängden. Sen kan jag tänka mig att det klargör för oss att funktionen inte är divergent i den bemärkelsen att den skjuter iväg mot någon oändlighet, vi vill ju visa att den är konvergent, kan vi inte visa att funktionen är begränsad är det onödigt att söka efter ett ändligt gränsvärdet kvantitativt. 

2) Att funktionen befinner sig inom en viss begränsning innebär dock inte att ett gränsvärde finns, det är inte ett tillräckligt villkor. Ty, den kan ju oscillera inom jämna intervall på definitionsmängden. 

Min idé är att det delvis är av den anledningen man vill veta om derivata någonsin blir noll, och för hur många värden den blir noll. Är den noll på jämna intervall inom hela definitionsmängden vet vi att funktionen ej konvergerar vilket är en motsägelse gentemot vad som efterfrågas att bevisas enlighet med uppgiften. 

Fråga: Är min förståelse av varför derivatan är av intresse korrekt?  (Alltså, för att vara säker på att funktionen inte oscillerar) Har jag missat något? Fyll gärna i med mer relevant information!

Tack på förhand.