Varför säger min lösning att linjerna inte skär varandra?

Halloj!

Jag sitter med uppgiften nedan:

Jag har kommit fram till att linjerna på vektorform kan skrivas:

$\displaystyle \vec{r}_{0}\left(t\right) = \left(8,1,6\right)+\left(3,1,-2\right)t$

$\displaystyle \vec{r}_{1}\left(t\right) = \left(3 ,-1, 2\right)+\left(5,2,4\right)t$

Jag tänker att om linjerna ska skära varandra någonstans måste det finnas något tal $t$ sådant att $\displaystyle \vec{r}_{0}\left(t\right) = \vec{r}_{1}\left(t\right)$

Men när jag löser denna ekvation får jag tre separata värden på $t$ för $x,y,z$ -koordinaten. Ur detta drar jag slutsatsen att linjerna saknar skärningspunkt, men när jag grafar dem har de uppenbarligen en skärningspunkt. Vad är det jag gör fel?

Tänk på att de båda linjerna inte måste ha samma parametervärde på $t$ . För att undvika missförstånd kan du låta det andra t:et heta $u$ istället.

Ah okej, nu kom jag fram till rätt svar. Vet inte hur jag missade en sådan uppenbar detalj...

Tack så mycket!

Och en fråga till, borde man inte kunna kolla detta ganska fort genom att titta på om linjerna ligger i samma plan? Om de ligger i samma plan och har riktningskoefficienter som är linjärt oberoende borde det väl räcka som argument för att de måste skära varandra?

Javisst, men jag tänker att det också kräver lite arbete att visa att de ligger i samma plan :)

Jo, visserligen... Nu när jag börjar skissa på hur man skulle kunna göra det var det inte lika enkelt som jag trodde.

Hur som helst tack så hemskt mycket för hjälpen!

Du skulle till exempel kunna visa att det finns minst en nollskild vektor $\mathbf{n}$ så att

$\mathbf{n}\cdot \mathbf{r}_0(t)=\mathbf{n}\cdot \mathbf{r}_1(u)$

för alla värden på $u$ och $t$

Svara

Visa senaste svar