Varför resulterar ett negativt tal multiplicerat med ett negativt tal ett positivt tal?

Hej,

Jag satt och funderade lite över negativa tal, och medan jag vet sedan länge att ett negativt tal multiplicerat med ett negativt tal resulterat i ett positivt tal, precis som ett negativt tal subtraherat med ett negativt tal resulterar i ett positivt tal, så förstår jag ändå inte riktigt varför det blir såhär med multiplikation.

Multiplikation är endast kontinuerlig addition. Låt oss ta talet $(- 3) \times 4$ för att illustrera mitt problem:

$(- 3) + (- 3) + (- 3) + (- 3) = - 12$

Så jag adderar talet $(- 3)$ 4 ggr och får fram 12. Inga problem. När jag tänker på $(- 3) \times (- 4)$ så stöter jag dock på patrull. Jag försöker illustrera det genom addition för att visa er varför jag inte förstår hur $(- 3) \times (- 4)$ = 12.

$(- 3) + - (- 3) + - (- 3) + - (- 3) = 6$

Jag tar alltså det negativa talet $(- 3)$ och adderar det genom subtraktion 4 gånger. Ett negativt tal subtraherat med ett negativt tal resulterar ju i att man "tar bort" det negativa talet man subtraherar med från det "första" negativa talet, och därigenom så adderar man ju. Talet $(- 3)$ subtraherat 1 gång med $(- 3)$ resulterar i att man adderar $(- 3)$ med 3, som då blir 0. 0 subtraherat med $(- 3)$ blir 3, och 3 subtraherat med $(- 3)$ blir 6. Vad det jag gör när jag tänker här som blir fel?

Edit: Jag skrev fel i början. Det ska naturligtvis vara $- 12$ .

Bryt ut "-"

$(- 3) \cdot (- 4) = - ((- 3) \cdot 4) = - ((- 3) + (- 3) + (- 3) + (- 3)) = 12$

beerger skrev:
Bryt ut "-"

$(- 3) \cdot (- 4) = - ((- 3) \cdot 4) = - ((- 3) + (- 3) + (- 3) + (- 3)) = 12$

Tack för svaret.

Kan man skriva det så här: $- 1 \times ((- 3) + (- 3) + (- 3) + (- 3)) = 12$ ?

Det är inga problem för mig att förstå egentligen, men jag skulle hemskt gärna vilja kunna verkligen förstå det hela genom att illustrera det i huvudet på tallinjen. Finns det något knep du kan rekommendera som kan göra att jag verkligen ser hela operationen framför mig? :)

$a \cdot b = c \underset{b g g r}{\underset{⏟}{a + . . . + a}} = c a \cdot (- b) = - c \Leftrightarrow - (a \cdot b) = - c \underset{b g g r}{- \underset{⏟}{(a + . . . + a)}} = - c (- a) \cdot (- b) = - (- c) = c \underset{b g g r}{(-) (-) \underset{⏟}{(a + . . . + a)}} = c$

Lemonhead_1900 skrev:

$(- 3) + - (- 3) + - (- 3) + - (- 3) = 6$

Jag tar alltså det negativa talet $(- 3)$ och adderar det genom subtraktion 4 gånger.

Nej. Den första termen adderar (-3) och sedan subtraherar du (-3) tre gånger.

beerger skrev:
$a \cdot b = c \underset{b g g r}{\underset{⏟}{a + . . . + a}} = c a \cdot (- b) = - c \Leftrightarrow - (a \cdot b) = - c \underset{b g g r}{- \underset{⏟}{(a + . . . + a)}} = - c (- a) \cdot (- b) = - (- c) = c \underset{b g g r}{(-) (-) \underset{⏟}{(a + . . . + a)}} = c$

Det var väldigt fin beskrivning av det hela! Svårt att "illustrera i huvudet" när jag tänker att jag rör mig på tallinjen dock! :) Vågar knappt föreställa mig hur det måste ha känts för matematikerna som kom på de imaginära talen!

Bubo skrev:
Lemonhead_1900 skrev:

$(- 3) + - (- 3) + - (- 3) + - (- 3) = 6$

Jag tar alltså det negativa talet $(- 3)$ och adderar det genom subtraktion 4 gånger.

Nej. Den första termen adderar (-3) och sedan subtraherar du (-3) tre gånger.

Det är i och för sig helt sant. Jag börjar med $(- 3)$ , och då har jag ju faktiskt adderat med $(- 3)$ det första jag gör. Knepigt det här.

Toppen att du klurar på sånt här, ökar förståelsen. Jag tänker så här:

Om b>0:
a*b betyder att "addera talet a b gånger"

Om b<0:
Din högst rimliga tolkning då b<0 är att a*b betyder "subtraktion av a -b gånger":
-(-3)-(-3)-(-3)-(-3) = 12

Enklare att räkna pengar?

Om du har negativa pengar så står du i skuld. Om du tar bort en skuld, så har du ju mer pengar.

Nej, så kan det väl inte inte vara?

Skaffar du dig en skuld får du in mer pengar utan att din förmögenhet ändras.
Blir du av med skulden, får du dessutom behålla de lånade pengarna.
Då ökar din förmögenhet utan att du får in ännu mer pengar.

Men det här verkar funka:

Låt (-3) betyda att du ska betala ut 3 kr
4·(-3) betyder att du ska betala ut 4·3 = 12 kr
(-4)·(-3) = – (4·(-3)) betyder att du slipper betala ut 4·3 = 12 kr
Det är som att få en inbetalning på 12 kr.

Eller?

Jag brukar berätta en liten saga: Det var en gång en liten by, där det fanna två sorters människor: bra människor och dåliga människor. Bra människor är positivt och dåliga människor är negativt, eller hur? Det hände att människor flyttar till den lilla byn (det är positivt) eller från byn (det är negativt).

Om en bra människa flyttar till byn så blir det bättre (++ => +)

Om en dålig människa flyttar till byn så blir det sämre (-+ => -)

Om en bra människa flyttar från byn så blir det sämre (+- => -)

Om en dålig människa flyttar frånbyn så blir det bättre (-- => +)

Jag brukar tänka att multiplikation med -1 är som att vrida tallinjen ett halvt varv kring 0 så att 1 kommer på -1 och 2 på-2 etc,

multiplikation med -1 två gånger vrider då ett helt varv och allt är som från början. Att multiplicera med -n är ju som att förlänga linjen n ggr och sen vrida ett halt varv ( den visuella motsvarigheten till att bryta ut -1 i första svaret).

PS Man kan lika gärna spegla som vrida men vridning passar så mycket bättre när det kommer till komplexa talens talplan.

Svara

Visa senaste svar