Varför primitiv funktion vid integraler?

En primitiv funktion är "motsatsen" till derivatan, ungefär som minus är motsatsen till plus och kvadratrot är motsatsen till upphöjt-till-två. 

"Lättare förklaring" vet jag inte, men beviset ges av analysens fundamentalsats (länk).

Låt mig försöka mig på en "lättare förklaring":

En integral handlar ju om att få fram arean under en kurva. Om kurvan är en rät linje kan man använda geometriska formler för att räkna ut arean, men om man inte har en rät linje blir det desto svårare. Vad man kan göra är att man sätter rektanglar under kurvan så att man får ett ungefärligt värde:

Desto fler rektanglar, desto bättre uppskattning. Om vi sedan tänker oss att vi tar ett oändligt antal oändligt smala rektanglar kommer vi ju faktiskt att få ett exakt värde:

Man kan alltså få ett exakt värde på en integral om man finner ett sätt att summera ihop oändligt många oändligt smala rektanglar. Höjden på varje individuell rektangel kommer ju att vara funktionens värde i punkten där rektangeln börjar, och bredden kommer att vara ett oändligt litet tal. Om vi inte är så matematiskt petiga som vi kanske borde vara kan vi kalla rektangelns höjd för $f\left(x_i\right)$ (funktionens värde i punkten där rektangeln börjar) och bredden för $dx$ (en oändligt liten förändring i $x$). Summan av dessa rektanglar kan vi löst beteckna som:

$\sum _{}f\left(x_i\right)·dx$ Notera att $x_i$ antar alla värden mellan areans början, $a$, och areans slut $b$.

Om vi på något sätt kan sätta ett värde på en sådan här summa kan vi också få ett värde på en integral.

Det är här derivatan och primitiva funktioner kommer in. Låt oss se på följande graf:

Om vi tänker oss att $dx$ representerar en oändligt liten längd (jag skulle gärna illustrerat mindre, men photoshop strejkar..) i x-led och $dy$ representerar en oändligt liten kommer ju derivatan att bli:

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{dy}{dx}$ (en oändligt liten förändring i $y$ delat på en oändligt liten förändring i $x$)

Vi kan göra om detta samband för att se att $f\text{'}\left(x\right)·dx=dy$, d.v.s. att derivatan gånger en oändligt liten förändring i x ger oss en motsvarande förändring i y. Om vi sedan summerar alla dessa segment får vi:

$\sum _{}f\text{'}\left(x_i\right)·dx=\sum _{}dy$ ($f'(x)$ måste ju stega med eftersom derivatan förändras, därför skriver vi $f\text{'}\left(x_i\right)$)

Nu har vi ju i vänsterled en nästan likadan summa som vi vill sätta ett värde på. Då gäller det bara att få fram ett ändligt värde i högerled. Om vi summerar alla små $dy$-segment kommer vi ju få längden på vårt intervall i y-led, och detta ser vi ju på grafen är lika med:

$\sum _{}f\text{'}(x_i)·dx=f\left(b\right)-f\left(a\right)$

Nu har vi ju satt ett värde på summan. Enda problemet är att vi har $f\text{'}\left(x\right)$ i vänsterled istället för $f\left(x\right)$. Detta kan vi ordna genom att bara byta $f'(x)$ mot $f(x)$ och $f(x)$ mot antiderivatan $F(x)$:

$\sum _{}f\left(x_i\right)·dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Vi kom ju överens om att summan i vänsterledet var arean under kurvan från a till b, alltså integralen från a till b. Då får vi:

${\int }_a^{b}f\left(x\right) dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

vilket är vad vi skulle visa.

AlvinB skrev :

Låt mig försöka mig på en "lättare förklaring":

En integral handlar ju om att få fram arean under en kurva. Om kurvan är en rät linje kan man använda geometriska formler för att räkna ut arean, men om man inte har en rät linje blir det desto svårare. Vad man kan göra är att man sätter rektanglar under kurvan så att man får ett ungefärligt värde:

Desto fler rektanglar, desto bättre uppskattning. Om vi sedan tänker oss att vi tar ett oändligt antal oändligt smala rektanglar kommer vi ju faktiskt att få ett exakt värde:

Man kan alltså få ett exakt värde på en integral om man finner ett sätt att summera ihop oändligt många oändligt smala rektanglar. Höjden på varje individuell rektangel kommer ju att vara funktionens värde i punkten där rektangeln börjar, och bredden kommer att vara ett oändligt litet tal. Om vi inte är så matematiskt petiga som vi kanske borde vara kan vi kalla rektangelns höjd för $f\left(x_i\right)$ (funktionens värde i punkten där rektangeln börjar) och bredden för $dx$ (en oändligt liten förändring i $x$). Summan av dessa rektanglar kan vi löst beteckna som:

$\sum _{}f\left(x_i\right)·dx$ Notera att $x_i$ antar alla värden mellan areans början, $a$, och areans slut $b$.

Om vi på något sätt kan sätta ett värde på en sådan här summa kan vi också få ett värde på en integral.

Det är här derivatan och primitiva funktioner kommer in. Låt oss se på följande graf:

Om vi tänker oss att $dx$ representerar en oändligt liten längd (jag skulle gärna illustrerat mindre, men photoshop strejkar..) i x-led och $dy$ representerar en oändligt liten kommer ju derivatan att bli:

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{dy}{dx}$ (en oändligt liten förändring i $y$ delat på en oändligt liten förändring i $x$)

Vi kan göra om detta samband för att se att $f\text{'}\left(x\right)·dx=dy$, d.v.s. att derivatan gånger en oändligt liten förändring i x ger oss en motsvarande förändring i y. Om vi sedan summerar alla dessa segment får vi:

$\sum _{}f\text{'}\left(x_i\right)·dx=\sum _{}dy$ ($f'(x)$ måste ju stega med eftersom derivatan förändras, därför skriver vi $f\text{'}\left(x_i\right)$)

Nu har vi ju i vänsterled en nästan likadan summa som vi vill sätta ett värde på. Då gäller det bara att få fram ett ändligt värde i högerled. Om vi summerar alla små $dy$-segment kommer vi ju få längden på vårt intervall i y-led, och detta ser vi ju på grafen är lika med:

$\sum _{}f\text{'}(x_i)·dx=f\left(b\right)-f\left(a\right)$

Nu har vi ju satt ett värde på summan. Enda problemet är att vi har $f\text{'}\left(x\right)$ i vänsterled istället för $f\left(x\right)$. Detta kan vi ordna genom att bara byta $f'(x)$ mot $f(x)$ och $f(x)$ mot antiderivatan $F(x)$:

$\sum _{}f\left(x_i\right)·dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Vi kom ju överens om att summan i vänsterledet var arean under kurvan från a till b, alltså integralen från a till b. Då får vi:

${\int }_a^{b}f\left(x\right) dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

vilket är vad vi skulle visa.

tack för en jättebra förklaring!