Varför måste en ortonormal bas vara en ordnad bas?

Det låter märkligt. Källa på det?

Linear algebra,  S.Friedberg m.m. S.353

Ok, då missar jag något. Att kalla basvektorerna för olika nummer påverkar ju knappast ortogonaliteten. 

Ger boken inget bevis?

Dr. G skrev:

Ok, då missar jag något. Att kalla basvektorerna för olika nummer påverkar ju knappast ortogonaliteten. 

Ger boken inget bevis?

Nepp, de säger bara att det är definitionen

Dualitetsförhållandet skrev:

Linear algebra,  S.Friedberg m.m. S.353

Är du säker på att det är rätt sida? I andra utgåvan så innehåller sida 353 bara uppgifter och två stycken corollaries om typ adjungerade operatorer.

Har inte tillgång till boken så mitt inlägg här kan vara irrelevant. Man kan visa att varje lineärt rum har en bas (med Zorns lemma). Basen  behöver således inte ens vara uppräknelig. Diskussionen ovan har enbart gällt uppräkneliga baser. Om alla element i det lineära rummet ska kunna skrivas som en lineärkombination i basen, måste basen vara ordnad, annars vet man ju inte vad en speciell koordinat ska hänföras till. Detta gäller oavsett om basen är ortonormerad eller inte. "Att vara ordnad" brukar betyda att det finns en ordningsrelation på basen. Denna behöver dessutom här vara total, för att basen ska vara tjänlig. Detta att vara (totalt) ordnad gäller alltså alla baser, inte bara ortogonala.

En tanke: kan ordning syfta på att kunna hålla koll på basens orientering. e1xe2=e3, men e2Xe1=-e3.

Visa hela sidan!

Jag tycker nog att det på något sätt är ett lite halvskumt påstående, och jag håller med Tomten.

Det är självklart godtyckligt vilken vektor i din (ortonormala) bas som du "döper" till $v_{1}$ eller $v_{2}$ osv. Men när du väl har valt vilken vektor som är vilken måste du självklart vara konsekvent, så att man vet vilken vektor man menar med $v_{1}$ eller $v_{2}$, och framför allt en vektor i det vektorrum som spänns upp av basen. Det verkar nästan som att påståendet skulle vara "extra viktigt" eller något speciellt för en ortonormal bas, och mer förvirring tillkommer av påståendet än om det inte skulle nämnas. 

Ett exempel på hela situationen är typ: Vi vet vad $e_{1}$ är, men om vi helt plötsligt skulle låta $e_{2}=\left(1,0\right)$ och $e_{1}=\left(0,1\right)$ så får vi på nåt sätt "nya" vektorer, men det vi egentligen gjort är bara att tilldela dom ett annat namn. Du skulle likaväl kunna kalla $v_{1}$ för $v_{\text{first}}$ eller $v_{abceyraf}$ osv. Ingenting ändras med basen, men att den fortfarande är "ordnad" i den mening att $v_{\text{first}}$ är den "första" vektorn kan man väl säga om man vill. Du måste fortfarande vara konsekvent med vilken vektor som är vilken utefter dess namn för att ens kunna ha en bra representation av koordinater av en annan vektor i din bas.

Det är så jag uppfattat det utan tillgång till vilken sida du har kollat på, men det kan vara så att dom menar något annat (?).

Det kokar väl ner till en definitionsfråga.

Jag kan tycka att det bör räcka att säga att en bas är sådan att alla vektorer i rummet kan skrivas som en unik linjärkombination av basvektorerna. 

Är basvektorerna sedan parvis ortogonala, så är basen ortogonal. 

Om en otrogonalbas automatiskt är ordnad så skulle man ju kunna skapa en annan bas genom att byta ut en basvektor mot t.ex summan av alla basvektorer. Den nya basen är då ordnad. Kan den oordnas?