varför måste en funktion vara kontinuerlig i en punkt för att punkten ska vara deriverbar?
Definitionen av derivata är ett gränsvärde, och ett gränsvärde kan finnas även i punkter som inte är kontinuerliga. Så varför finns det en sats som säger att en punkt som är deriverbar alltid är kontinuerlig?
Tänk exemplet:
f(x) = 2x om x /= 3, 4 om x=3. gränsvärdet i 3 är inte samma som funktionsvärdet i x=3 så funktionen är inte kontinuerlig i punkten, men den borde väl ändå få derivatan f´(3)=2 ? eller har jag fått något fel? uppskattar hjälp.
Derivatan är mycket riktigt ett gränsvärde. Om det finns flera gränsvärden beroende på om man räknar framlänges eller baklänges så är derivatan inte entydigt bestämd och funktionen är inte deriverbar.
Ta t.ex. funktionen f(x) = |x|. Försöker man få derivatan i x=0 genom att räkna framlänges får man
(f(0+h)-f(0))/((0+h)-0)= h/h=1
Försöker man få den genom att räkna baklänges får man
(f(0)-f(0-h))/(0-(0-h))= -h/h=-1
Försöker man få den som ett mellanvärde får man
(f(0+h)-f(0-h))/((0+h)-(0-h))= (|h|-|h|)/(h-(-h))= 0/(2h) vilket går mot 0/0
Använd derivatans definition så ser du att derivatan inte existerar.
= = = existerar inte.
