Varför krävs bijektiv?

Det måste finnas ett ett-till-ett-förhållande mellan E i xy-planet och D i uv-planet. Alltså vill vi att:

• $E=D_{xy}$
• $D=V_{xy}$
• xy är inverterbar (så att vi kan gå tillbaka från D till E).

Därmed måste xy vara bijektiv, definitionen är ju enligt nedan:

"En bijektiv funktion är en funktion $f$, från mängden $X$ till mängden $Y$, som är omvändbar och sådan att $f$:s definitionsmängd $D_f = X$ och $f$:s värdemängd $V_f = Y$."

haraldfreij skrev:

Det måste finnas ett ett-till-ett-förhållande mellan E i xy-planet och D i uv-planet. Alltså vill vi att:

• $E=D_{xy}$
• $D=V_{xy}$
• xy är inverterbar (så att vi kan gå tillbaka från D till E).

Därmed måste xy vara bijektiv, definitionen är ju enligt nedan:

"En bijektiv funktion är en funktion $f$, från mängden $X$ till mängden $Y$, som är omvändbar och sådan att $f$:s definitionsmängd $D_f = X$ och $f$:s värdemängd $V_f = Y$."

 Så om det inte är en bijektiv, då kan man inte göra variabelbyte?

Nej, det kan man inte.

Men det räcker att funktionen är bijektiv på området du integrerar över. Jämför med hur du i envariabelfallet kan använda variabelsubstitutionen u=x² så länge du inte integrerar runt x=0, eftersom funktionen är bijektiv så länge man väljer den positiva eller negativa grenen. Försöker du göra bytet runt 0 däremot får du problem, integral från x=-5 till 5 kan t.ex. inte uttryckas i u (det blir ju integral från 25 till 25, "via 0").

Som en parentes kan nämnas att du i det fallet kan dela upp intervallet i en positiv och en negativ del, och använda olika inverser i de två delarna, för att lösa problemet.

heymel skrev:

haraldfreij skrev:

Det måste finnas ett ett-till-ett-förhållande mellan E i xy-planet och D i uv-planet. Alltså vill vi att:

• $E=D_{xy}$
• $D=V_{xy}$
• xy är inverterbar (så att vi kan gå tillbaka från D till E).

Därmed måste xy vara bijektiv, definitionen är ju enligt nedan:

"En bijektiv funktion är en funktion $f$, från mängden $X$ till mängden $Y$, som är omvändbar och sådan att $f$:s definitionsmängd $D_f = X$ och $f$:s värdemängd $V_f = Y$."

 Så om det inte är en bijektiv, då kan man inte göra variabelbyte?

 Just det. "bijektiv" betyder ju "inverterbar", d.v.s. att man enkelt skapa en funktion och en invers och gå fram och tillbaka utan att tappa bort några punkter eller skapa nya.

Är variabelbytet inte bijektivt kan det ju vara så att några punkter från xy-planet sammankopplas med samma punkt i uv-planet. Då blir det ju knas eftersom man tappar punkter när man övergår till uv-planet.

Om variabelbytet inte är bijektivt kan det även betyda att det finns punkter i uv-planet som inte är sammankopplade med någon punkt i xy-planet, och då har man helt plötsligt skapat nya punkter som inte fanns med från början.

tack så mkt för svaren!