varför kan alla sinusfunktionen skrivas till cosinus

Funktionerna följer samma mönster. Det är liksom samma vågmönster om man ritar upp funktionerna:

Det hintar om att det bara handlar om en förskjutning i sidled för att få dem att överlappa. Sinus ligger lite före, vi kan flytta den bakåt genom att göra ett litet tillägg på x i sinuskurvan:

Nu ser det ut som att kurvorna överlappar perfekt. Vi kan kontrollera (bevisa) detta genom att utveckla $\sin(x+\frac{\pi}{2})$ med additionsformeln.

Det går absolut att bevisa! Skaft har visat det geometriskt, men det går också att gå tillbaka till själva definitionen av sinus och cosinus. Rita upp en enhetscirkel och rita in en rätvinklig triangel vars hypotenusa börjar i origo och slutar någonstans på enhetscirkelns rand. Sinus definieras som förhållandet mellan motstående sida och hypotenusa, och cosinus definieras som förhållandet mellan närliggande sida och hypotenusa. Men med Pythagoras sats kan vi uttrycka den motstående sidan med hjälp av den närliggande sidan. Om vi kallar den närliggande sidan för x, är den motstående sidan $\sqrt{1-x^2}$. 

Vi kan alltså uttrycka förhållandet mellan motstående sida och hypotenusa (sinus) med hjälp av förhållandet mellan närliggande sida och hypotenusa (cosinus). Detta talar för att alla sinusfunktioner kan skrivas om till cosinusfunktioner (även om det nog är ett svagt formellt bevis). :)