Varför inventerar man vid division av bråk?

Ge ett exempel ska jag prova förklara.

Hej

Om vi har bråket $\frac{{\displaystyle \frac{a}{b}}}{{\displaystyle \frac{c}{d}}}$ och vi vill nu förenkla det så långt som möjligt. Det vi kan börja med det är att få nämnaren lika ett.

Om vi endast kollar på vad vår nämnaren behöver vara för att den ska vara lika med ett:

$\frac{c}{d}·x=1\iff x=\frac{d}{c}$ om vi då multiplicera talet $\frac{d}{c}$ med $\frac{c}{d}$ ska vi få ett vi kan kolla om det stämmer

$\frac{c}{d}·\frac{d}{c}=\frac{c·d}{c·d}=\frac{1}{1}=1$. Ja det stämmer!

Om vi nu går tillbaka till ursprungliga uppgiften att vi ska förenkla: $\frac{{\displaystyle \frac{a}{b}}}{{\displaystyle \frac{c}{d}}}$. Nu kan vi använda oss av information jag skrev ovan. Eftersom när vi förlänger eller förkortar bråk måste man göra det i både täljaren och nämnaren.

Om vi då förlänger med talet $\frac{d}{c}$ så får vi:

$\frac{{\displaystyle \frac{a}{b}·\frac{d}{c}}}{{\displaystyle \frac{c}{d}·\frac{d}{c}}}=\frac{\frac{a}{b}·\frac{d}{c}}{1}=\frac{{\displaystyle a}}{{\displaystyle b}}·\frac{{\displaystyle d}}{{\displaystyle c}}=\frac{ad}{bc}$

Blev det tydligare nu? 

Välkommen till Pluggakuten!

Vad är talet $1/\frac{2}{3}$? Om man multiplicerar det talet med talet $\frac{2}{3}$ så blir deras produkt lika med talet 1.

    $\displaystyle\frac{2}{3}\cdot (1/\frac{2}{3}) = 1.$

Multiplicera med talet $3$ för att få detta:

    $\displaystyle 2\cdot(1/\frac{2}{3}) = 3.$

Multiplicera sedan med talet $\frac{1}{2}$ för att få detta:

    $\displaystyle(1/\frac{2}{3}) = 3\cdot\frac{1}{2} = \frac{3\cdot 1}{2} = \frac{3}{2}.$

Det gäller alltså att talet $1/\frac{2}{3}$ är samma sak som talet $\frac{3}{2}.$