Frågor om komplex analys
- Med en god dos linjär algebra, vektoranalys och reell analys, varför hoppar man inte på komplex analys i flera variabler på en gång? Alltså: varför generaliseras inte komplex analys enkelt till flera variabler?
- Det känns som att analys med reella eller komplexa tal är godtyckligt, varför inte generalisera analys till godtyckliga talsystem? Betyder talsystem kroppar, eller vektorrum?
- Jag googlade därför analysis over quaternions, och det fanns, men kvaternionerna bildar inte ens en kropp, men är ett vektorrum. Vad betyder ”talsystem”? Vad betyder ”analys”? Analys över oktonioner, sedenioner?
- Vad säger man? Studerar man analys med/över/i talsystemet, eller studerar man talsystemets egenskaper i termer av objekt och begrepp som sägs tillhöra analysen?
Jag uppfattar frågorna som huvudsakligen didaktiska. Du kan ha menat annorlunda. Idéen att gå från det speciella till det allmänna upplever jag har fått stått oemotsagd länge nog. Vi ska förstås inte kasta ut barnet med badvattnet, men behöver vi inte titta lite närmare på när det verkligen är en bra metod och när den är mindre bra? Du har säkert redan löst åtskilliga problem genom att först titta på ett specialfall och sedan utnyttja det för att lösa det allmänna fallet. I fallet komplex analys i flera variabler så vet jag att kurser i detta har anordnats på t ex Chalmers/GU. Är inte bekant med finesserna, men har kunnat se professorer bli upplivade, när ämnet kommit på tal. Dock, lin alg och reell analys i all ära, men har man inte också nytta av t.ex Cauchys integralsats, potensserier i en variabel först? Å andra sidan missas en hel del överblick genom att inte går den omvända vägen: Det finns en hel del fördelar med att först ta det generella och sedan plocka på mer struktur för att se vilka satser som då kan bevisas.
I min värld är talsystem kroppar - inte vektorrum. De senare är ju definierade med skalärer som hämtas från kroppar. Blir det inte en röra om vi blandar samman dem?
Nej, inte didaktiskt, matematiskt. Jag har ett bidrag i form av Hartogs fenomen, en sats som endast gäller för funktioner av >1 komplexa variabler.
Det jag menade var att den typen av generalisering, att gå från en till flera variabler, är en man rimligtvis redan borde vara bekväm med innan man läser komplex analys och därmed göra det bekvämt att gå rakt på. Dock så är det uppenbarligen inte så, så jag undrar vad som skiljer mellan övergången mellan en reell till flera reella och övergången mellan en komplex till flera komplexa, rent matematiskt.
Här är svaren på mina två andra frågor (fick googla med "site:xxx" för att hitta, google diskriminerar math.stackexchange haha):
https://math.stackexchange.com/questions/806099/analysis-on-using-unconventional-underlying-fields
