Varför gäller denna integral?

varför gäller $\int_{- 1}^{1} f (a - x) g_{h} (x) d x = \int_{- 1}^{0} f (a - x) g_{h} (x) d x + \int_{0}^{1} f (a - x) g_{h} (x) d x = 0 + \int_{0}^{1} f (a - x) g_{h} (x) d x = ? \frac{1}{h} \int_{0}^{h} f (a - x) d x$

Låt $0<h<1$
Då gäller det att

$\displaystyle \int\limits_{-1}^1{f(a-x)g_h(x)dx} = \int\limits_{-1}^0{f(a-x)g_h(x)dx} + \int\limits_{0}^h{f(a-x)g_h(x)dx}+\int\limits_{h}^1{f(a-x)g_h(x)dx}$

Men när $x<0$ eller $x>h$ är $g_h(x)=0$
Eftersom den första och sista integralen i omskrivningen är helt inne på dessa två områden blir båda 0 och det enda som blir kvar är

$\int\limits_{0}^h{f(a-x)g_h(x)dx}$

Sedan, när $0\leq x \leq h$ är $g_h(x) = \frac 1h$ . Alltså konstant. Därför kan vi ta ut den ur integralen och då får vi uttrycket i lösningen.

Svara