Varför fungerar trigonometrisk substitution när man ändrar integreringsgränserna?

Hej, Pluggakuten!

Som vissa kanske har märkt har jag hållit på mycket med integraler på senaste. För det mesta har det gått bra, men en sak som jag ertappade mig själv vid idag är att jag inte kan förklara varför trigonometrisk substituion faktiskt fungerar, vilket är lite irriterande. Mer specifikt kan jag inte förklara varför en bestämd integral behåller sitt värde vid en trignonometrisk substitution när man justerar ändpunkterna. Jag kan ge ett exempel:

$\displaystyle \int_{0}^{1}2x\;\mathrm{d}x=\int_{0}^{\pi/2}2\sin\theta\;\mathrm{d\theta}=2$

Här har jag alltså gjort substitutionen $\displaystyle x=\sin{\theta}$ , och justerat ändpunkterna så att det största värdet $\displaystyle \sin{\theta}$ antar är 1, och det minsta värdet är 0. Men varför behålls integralens värde när man gör det? Vi integrerar ju trots allt olika funktioner. Och grafiskt får jag det inte heller att gå ihop:

Det svarta området är området som båda kurvorna delar. Det blå området är arean som endast linjen bildar med x-axeln, och det gula området är arean som endast sinuskurvan bildar med x-axeln. Som man kan se är det gula området väldigt mycket större än det blå, så det ser ju ut som integralen för sinuskruvan borde vara större? Men värdet blir samma. En grafisk tolkning verkar i alla fall inte komma på fråga.

Har ni några bra tankar? Jag tycker det är väldigt logiskt att man kan substituera på det sättet, men samtidigt vill jag ju kunna gå på mer än en känsla av logik.

naytte skrev:
Som man kan se är det gula området väldigt mycket större än det blå, så det ser ju ut som integralen för sinuskruvan borde vara större?

Ja, det stämmer. Bra observerat.

Men värdet blir samma.

Nej. Du har helt enkelt räknat fel på den första integralen.

Hoppsan, där ser man vad som kan hända när hjärnan går på sparlåga! Måste sova mer. Tack för poängterandet! Ibland behöver man bara ett extra par ögon.

Jag missade dessutom att skriva om dx så att differentialen blev d(theta). Riktigt korkad är jag idag. Glöm frågan för nu, jag är tydligen inte så skarp idag!

Okej, nur har jag sovit lite. Det förändrar min fråga en aning.

Hur kan man motivera att:

$\displaystyle \int_{0}^{1}4x\;\mathrm{d}x=2\int_{0}^{\pi/2}\sin{2\theta}\;\mathrm{d}\theta$ ?

Här har jag alltså gjort samma substitution som ovan, $\displaystyle x=\sin{\theta}$ .

Nedan är områdena som graferna inte delar inritade. Det är ju inte så lätt att avgöra om de är lika stora med blotta ögat. Finns det något bra sätt att motivera att en trigsub alltid kommer leda till samma värde på integralen när man förändrar gränserna så?

Jag är nog inte riktigt med på din fråga. Ett variabelbyte förändrar ju ingenting. Du byter bara variabel, så integralen är densamma bara uttryckt på ett annat sätt.

Jämför exempelvis med om du valt $x=2t$ . Är det verkligen något fundamentalt annorlunda att använda det variabelbytet och att använda trigonometriska funktioner?

Men jag kanske missar din poäng här

Nej, om vi hade gjort variabelbytet vid en obestämd integral hade jag inte haft några problem. Det är just bytet av integreringsgränserna hos bestämda integraler jag inte riktigt förstår. Vi kan ta integralen i mitt ursprungliga inlägg med substitutionen $\displaystyle x=\sin{\theta}$ som exempel:

Här beräknar vi de nya integreringsgränserna genom att först bestämma den vinkel $\theta$ som gör att $\displaystyle \sin{\theta}=1$ . Sedan bestämmer vi den vinkel $\theta$ som gör att $\displaystyle \sin{\theta}=0$ . Så vi vet att vår funktion $\sin\theta$ vid den undre gränsen antar värdet 0 och vid den övre gränsen antar värdet 1, precis som $x$ . So far so good.

Men vi vet väl ingenting om hur vår funktion $\displaystyle \sin\theta$ beter sig mellan 0 och 1, eller? Hur kan man garantera att det blir rätt när vi inte vet hur vår "substituent" beter sig mellan ändpunkterna?

Vi måste förstås veta att den beter sig bra, men det vet vi ju när det är sinus.

Hur måste funktionen bete sig för att vi ska kunna garantera att integralens värde blir samma då vi bara vet att $x$ och $\sin{\theta}$ får samma värde i ändpunkterna?

Att den är monoton borde räcka.

Menar du i integreringsintervallet?

Ja. Utanför borde inte spela någon roll.

Okej, varför gör att funktionen är monoton att integralens värde bevaras när vi gör substitutionen? Finns det någon sats eller något man kan hänvisa till?

Har du kollat Wikipedia-artikeln Integration by substitution?

Ja, men jag läste nyss ett inlägg på math stackexchange och jag tror det klarnade ordentligt nu (mer av en intuitiv förklaring snarare än en matematiskt rigorös förklaring). Jag återkommer när jag har fått smälta det lite mer.

Svara

Visa senaste svar