Varför fungerar inte den röda lösningen?

Du går från $\sqrt{x^2 + 12^2}$ till $x+12$, men det finns ingen räkneregel som tillåter det. Testa med kända värden, t.ex:

$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\\ \sqrt{3^2} + \sqrt{4^2} = 3+4 = 7$

Så att dra roten ur en summa är helt enkelt inte samma sak som att dra roten term för term.