Varför fungerar implicit derivering?

God afton, Pluggakuten!

Jag har jobbat lite med implicit derivering på senaste tiden, men jag förstår inte riktigt varför implicit derivering fungerar. Förklaringen jag har fått är att man "använder operatorn $\frac{d}{d x}$ på båda sidor så om $x^{2} + y^{2} = 1$ måste det även gälla att $\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}] = \frac{d}{d x} [1]$ ." Men den här förklaringen med att man "gör samma på båda sidor" räcker inte för mig. För det finns ju faktiskt operatörer man inte kan använda hursomhelst, eftersom det skulle göra likheten osann. T.ex. om $a^{2} = b^{2}$ kan man inte med säkerhet säga att $\sqrt{a^{2}} = \sqrt{b^{2}}$ .

Har någon en bra förklaring på varför implicit derivering fungerar, och hur man kan alltid kan vara säker på det?

(I det här fallet kan du lika gärna derivera explicit och sedan jämföra resultaten. )

Då HL är konstant så måste VL vara konstant för att likheten ska gälla. Derivatan av VL (m.a.p x eller m.a.p.y) måste då vara 0.

Tillägg: 23 okt 2023 20:52

Angående din fundering:

Leden ör lika. Behandla dem lika, så kvarstår likheten.

$a^2=b^2$

ger att

$\sqrt{a^2}=\sqrt{b^2}$

men detta betyder inte nödvändigt att a = b.

Okej, nu råkade det bli väldigt enkelt på grund av att det blev en konstant i HL, och jag är helt med på resonemanget just i det fallet. Men låt säga att funktionen istället var lite mer komplex:

$x^{3} - y^{2} = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$

Hur skulle du med hjälp av den implicita funktionen argumentera för att det måste gälla att: $\frac{d}{d x} [x^{3} - y^{2}] = \frac{d}{d x} [2 x^{2} - \frac{1}{2}]$

Leden ör lika. Behandla dem lika, så kvarstår likheten.

$a^{2} = b^{2}$

ger att

$\sqrt{a^{2}} = \sqrt{b^{2}}$

men detta betyder inte nödvändigt att a = b.

Är inte "kvadratrotsoperatorn" inversoperatioen till kvadrering? Om man skulle förenkla leden skulle man ju få $a = b$ , vilket inte nödvändigtvis stämmer. Menar du då att det är förenklingen som är fel?

Dr. G skrev:
Leden ör lika. Behandla dem lika, så kvarstår likheten.

Det ovan är egentligen allt.

Även om operationerna inte är inverterbara så gäller likheten.

$a^2=b^2$

$0\cdot a^2=0\cdot b^2$

(Sedan får man se upp med nolldivision och annat otillåtet, så hör går det inte att gå tilbaka.)

$\sqrt{a^2}=|a|$

så antingen a eller -a beroende på tecken.

Just det, kvadratrotsfunktionen ger ju absolutbelopp som utvärde, så det gäller ändå... Finns det överhuvudtaget någon operator som inte går att använda på båda sidor av en likhet?

Och sedan förstår jag inte riktigt vad du gör när du skriver 0*a²=0*b² ?

Det var ett exempel. Jag skrev inte ut implikationspilen.

$a^2=b^2$

$\Longrightarrow$

$0\cdot a^2=0\cdot b^2$

så 0 = 0.

Alla operatorer som inte ger "nonsens" bevarar likheten. Om du som i ditt exempel deriverar båda led så gäller likheten fortfarande, men inte i punkter där funktionen inte är deriverbar eller är odefinierad. Där blir det nonsens.

Oj, ja. Nu när jag har fått tänka på det lite känner jag mig faktiskt riktigt dum, att jag ens kunde ställa en sådan här självklar fråga. Märkligt att man ibland helt plötsligt ifrågasätter en av de mest grundläggande sakerna man kan.

Tack så mycket!

Svara

Visa senaste svar