Varför fungerar detta inte för sned asymptot?

Halloj!

Jag sitter med en uppgift där man ska bestämma de sneda asymptoterna till funktioen:

$\displaystyle f\left(x\right)=\frac{x^2\arctan x}{4x+1}$

Jag tänkte att man kunde bryta ut $\arctan x$ och använda polynomdivision på den rationella funktionen:

$\displaystyle f\left(x\right) = \arctan x \cdot (\frac{1}{4}x - \frac{1}{16}+\frac{1}{16(4x+1)})$

Sedan tänkte jag helt enkelt att då $\displaystyle x\to \infty$ så borde $\displaystyle f\left(x\right) \to \frac{\pi}{2}\left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{16}\right)$

Detta stämmer dock inte alls och jag undrar varför man inte kan göra så här.

Det ser ut som att du har glömt att dela med x. Gränsvärdet för att hitta lutningen till en sned asymptot ser ut såhär:

$c = \lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x}$

Om man sätter in uttrycket för f(x) så:

$c = \lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} a r c t a n (x)}{x (4 x + 1)} = \lim_{x \to \infty} a r c t a n (x) \times \lim_{x \to \infty} \frac{x}{4 x + 1} = . . .$

Hänger du med? :)

Japp, jag känner till det gängse tillvägagångsättet, men det var inte det jag försökte använda. Jag försökte vara lite smart och titta på vad de enskilda faktorerna går mot, men tydligen kan man inte göra så? Alltså inte kolla på lutning och m-värde separat, utan direkt försöka hitta linjen.

Lutningen är inget problem, men tydligen gör arctan att m inte blir samma som om arctan inte fanns där.

Blir det bättre om man serieexpanderar arctan en liten bit?

Blir det bättre om man serieexpanderar arctan en liten bit?

Hur menar du då? Alltså typ McLaurin-utvecklingen bara?

Ja.

Skriv arctanx som arctanx - $π / 2 + π / 2$ .

Då får du

$\frac{π}{2} (\frac{x}{4} - \frac{1}{16})$ + r(x), där r(x) är ett uttryck som inte går mot noll då x går mot oändlighet.

Hur såg du att man kunde göra en sådan omskrivning? Hur skulle man kunna lista att att det inte fungerar att göra så som jag gjorde? Det funkade nämligen på en nästan likadan uppgift, och linjen jag fick ser väldigt lik ut den riktiga linjen, så det är svårt att avgöra om man har gjort rätt, även om man grafar.

Jag löste gränsvärdet för att bestämma m såhär:

$\lim_{x \to \infty} (\frac{x^{2} \arctan (x)}{4 x + 1} - \frac{𝜋}{8} x) = \lim_{x \to \infty} (\frac{8 x^{2} \arctan (x) - 4 𝜋 x^{2} - 𝜋 x}{32 x + 8}) = L'Hopital's regel = = \lim_{x \to \infty} (\frac{1}{2} x \arctan (x) - \frac{1}{4} 𝜋 x) + \frac{1}{4} - \frac{𝜋}{32} = [u=1/x] = \lim_{u \to 0} (\frac{2 \arctan (\frac{1}{u}) - 𝜋}{4 u}) - \frac{𝜋}{32} + \frac{1}{4} = = L'Hopital's regel = - \frac{1}{2} - \frac{𝜋}{32} + \frac{1}{4} = - \frac{𝜋}{32} - \frac{1}{4}$

Taylors utveckling för arctan(x) i oändligheten (se också Laurentserier) är

$\arctan x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x} + \frac{1}{3x^3} - \frac{1}{5x^5} + O(x^{-7})$ , där $x \to \infty$ .

Jag tänkte fel förut med MacLaurin-utveckling, vi ska ju låta x gå mot oändligheten.

Den här serien bör kan man kunna få genom att serieutveckla 1/(1+x²) och sedan integrera, så behöver man inte lära sig Laurent-serier först.

Absolut! Laurentserier behövs egentligen inte, det är bara att begreppet "taylorsutveckling i oändligheten" kan ifrågasättas.

Man kan också utnyttja sambandet $\arctan x + \arctan \left( \frac{1}{x} \right) = \frac{\pi}{2} sgn(x)$ och vanlig maclaurinsutveckling för att få fram utvecklingen för stora x som jag skrivit i inlägget ovan.

Jag tror felet du gör i ditt första inlägg är att du gör en successiv gränsövergång. Detta kan ge fel svar.

Sedan är sättet du skriver det på fel. Då x går mot oändligheten kommer f(x) gå mot ett värde (om än oändligt) och inte en ny funktion.

Sedan är sättet du skriver det på fel. Då x går mot oändligheten kommer f(x) gå mot ett värde (om än oändligt) och inte en ny funktion.

Jag tänkte på detta också. Hur ska man egentligen skriva det rent formellt?

Och tack allihopa för alla utmärkta svar!

Svara

Visa senaste svar