Varför fungerar detta för taylorpolynom?

Halloj!

Jag håller på att studera taylorpolynom och en sak som jag har märkt är att man ofta kan förenkla taylorutvkecklingen genom substitution.

En typisk uppgift skulle t.ex. kunna vara att man ska taylorutveckla $\displaystyle f\left(x\right)=e^{x^2}$ till grad fyra. Då man gör detta på "standardsättet" skulle man få massa inre derivator med i spelet, t.ex. ur förstaderivatan får man $\displaystyle f'\left(x\right)=2xe^{x^2}$. Men jag såg att en genväg man kan ta är att istället skriva ut den kända taylorutvecklingen för $\displaystyle f\left(t\right) = e^t$ till halva graden:

$\displaystyle P_2\left(t:0\right) = 1+t+\frac{t^2}{2!}$

Och sedan substituera in $t=x^2$.

Men jag undrar varför detta fungerar. Det finns väl massvis av inre derivator som vi inte tar hänsyn till då?