Varför fungerar det inte?

Tror inte du har gjort fel men det du kommit fram till säger inte så mycket om gränsvärdet. Att sin(4x)/x ligger någonstans mellan [-inf,inf] säger inte så värst mycket. Det kan lika väl vara 1 som 40.

sinx/x då x går mot 0 är ett SGV.

$\dfrac{\sin (4x)}{x}=\dfrac{\sin (4x)}{4x} \cdot 4.....$

Mitt svar via det sättet blir ju att det ej existerar ett gränsvärde, medan hopitals regel ger mig att gränsvärdet är 4 ?? Varför får jag inte svaret till 4 på det sättet 

Varför skulle ett gränsvärde inte existera för att det ligger mellan plus och minus oändligheten?

Som sagt, det enda du säger är att gränsvärdet ligger mellan plus och minus oändligheten. Och 4 är ju mellan plus och minus oändligheten. Så ingen motsättning.

En fråga om L’Hospitals. Går det verkligen att använda den här? Blir det inte ett cirkelresonemang? Eftersom för att derivera sin(x) måste man lösa i princip samma gränsvärde som redan står? 

Men det har ju någon annan redan gjort😉 Det är ju inget bevis som frågas efter så, tänker jag iaf.

Om man ändå vill stänga in med olikheter så kan kanske |sin x| <= |x| funkar bättre?

Precis som Hondel skriver så får man inte använda la hopital. I deriverinen av sin (x) så använder man att sin (x)/x = 1

Om man stoppar in , x = 0 i funktionen så får man ju 0/0, vilket är bland annat då man använder sig utan L’hopitals regel då? 

Du överkomplicerar det, avänd bara standardgränsvärdet sinx/x går mot 1 då x går mot 0.

Du kan du utgå från mitt första inlägg och direkt se svaret. Att använda L’hopitals regel på liknande uppgifter kan antingen ge dig fullpot eller 0 poäng beroende på din lärare. Detta eftersom du inte kan evaluera det utan att veta att derivatan av sin(x) blir cos(x) men för att ens kunna veta detta så måste man utgå från samma SGV vilket är ett cirkulärt resonemang.