Varför fungerar det att sätta determinanten lika med noll?

Determinanten av en matris ger oss information om matrisens egenskaper. Till exempel finns det en viktig sats:

Sats: Låt A vara en $n \times n$-matris. Då är kolonnerna (eller raderna) i $A$ linjärt beroende om och endast om $\det A= 0$.

Alternativt kan man säga att om raderna (eller kolonnerna) i $A$ är linjärt beroende har ekvationssystemet $Ax=0$ icke-triviala lösningar.

Om du tänker efter är det här precis definitionen av att vektorn $(1,a,4)$ ska kunna skrivas som en linjärkombination av de två andra vektorerna, dvs villkoret för att de tre vektorerna ska vara linjärt beroende är att matrisen $A$ de tillsammans bildar ska ha determinanten 0.

Men det finns också en geometrisk tolkning! Det två vektorerna i spannet spänner upp ett plan i rummet. För att den tredje vektorn, $(1,a,4)$, ska ligga helt planet får den inte innehålla någon komponent som sticker ut ur planet.

Det innebär att vektorn $(1,a,4)$ måste vara helt vinkelrät mot planets normal. Matematiskt kan vi ställa upp det villkoret så här

$(1,a,4)\cdot \left((1,2,3)\times (2,3,1)\right)=0$

Det här är den skalära trippelprodukten som definitionsmässigt är determinanten av den matris som har de tre vektorerna som rader eller kolonner. Det gäller alltså att

$\displaystyle \det A= \begin{vmatrix}\vdots & \vdots & \vdots \\ \mathbf{a} & \mathbf{b} & \mathbf{c}\\ \vdots & \vdots & \vdots \end{vmatrix}=\mathbf{a}\cdot\left(\mathbf{b}\times \mathbf{c}\right)$

Den skalära trippelprodukten är naturligtvis cyklisk (det spelar ingen roll hur du ordnar raderna eller kolonnerna i din matris)

$\det A = \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})=\mathbf{c}\cdot\left(\mathbf{a}\times \mathbf{b}\right)$