Varför blir gränsvärdet e och inte 1?

Jag stötte på följande gränsvärde häromdagen:

$\lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$

Min tankegång var att termen $\frac{1}{x} \to 0$ när $x \to \infty$ , och att hela uttrycket då borde gå mot $1^{\infty} = 1$ . Men tydligen går uttrycket mot $e$ . Varför?

$1^\infty$ är ett sånt där uttryck som är odefinierat om man inte vet precis hur sakerna går mot sina gränsvärden.

Det slog mig just att det gränsvärdet är väldigt likt definitionen för $e$ ... Det är nog därför:

$\lim_{h \to 0} {(1 + h)}^{1 / h} = \lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e$

Nu är du något på spåret!

Det är skrivet i paint som vanligt, så det är lite fult skrivet.

Svara

Visa senaste svar