Varför blir f(1)+f(2)+f(3) större än arean under kurvan? (Matematik/Matte 3/Integraler)

Är inte riktigt med på vad du menar men såhär tänker jag

Tänk dig en rektangel med en höjd på 1m och en bredd på 0.5m. Jämför arean och höjden

Jag ska försöka förklara vad jag menar tydligare.

Arean under kurvan blir ju summan av ett antal rektanglar med basen $∆ x$ och höjden $f (x_{i})$ enligt följande:

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} ∆ x \cdot f (x_{i})$ , där $∆ x$ är integrationsgränserna minus varandra delat på n: $∆ x = \frac{b - a}{n}$ .

När man låter $n \to \infty$ så blir ju arean av varje rektangel samma sak som $f (x_{i})$ , det vill säga att man summerar ett oändligt antal funktionsvärden (eftersom man har ett oändligt antal x-koordinater då $n \to \infty$ ). I detta oändliga antal funktionsvärden bör ju $f (1), f (2)$ och $f (3)$ vara inräknade. Därmed borde logiskt sett följande gälla: $\int_{0}^{3} f (x) d x > f (1) + f (2) + f (3)$ .

Men av någon anledning blir det inte så? Varför?

Men du multiplicerar varje funktionsvärde med en bredd som går mot noll.

En hjälpsam sats för intuition kan vara integralkalkylens medelvärdessats som säger att

$\int_{a}^{b} f (b) d x = f (t) (b - a) f ö r a \leq t \leq b$

Approximationen är dåligt för små n. Här kan du se hur värdet ändras för n inom [1, 70]. Notera att det finns många olika metoder att göra detta på med sina för och nackdelar.

Och för $n \rightarrow \infty$ fås:

Vilket är precis det vi förväntar oss.

Orsaken är att rektanglarna du räknar på är större än området, så här:

Eftersom du räknat på $f(1)=1$ som höjd på den första stapeln får du med det överflödiga gula området. På samma sätt är $f(2)=4$ en överskattning av höjden av den andra rektangeln, och du får återigen med det gula området. Är du med?

En bättre uppskattning får du om du sätter intervallens höjd som medelvärdet $\frac{f(a)+f(b)}{2}$ . Du kan också testa att sätta intervallets höjd som vänstervärdet, då får du en underskattning av arean.

Således kan du boxa in området mellan en överskattning $A_{max}=f(1)+f(2)+f(3)=14$ och en underskattning $A_{min}=f(0)+f(1)+f(2)=5$

En annan uppskattning av integralen skulle alltså kunna vara medelvärdet $\frac{A_{min}+A_{max}}{2}=9.5$ .

Jag är inte riktigt med på varför varje rektangel får en bas som är 1 l.e lång.

Jag kan acceptera utifrån Riemannsummor att arean kommer bli mindre än summan av de enskilda funktionsvärdena, eftersom man multiplicerar varje funktionsvärde med ett tal som närmar sig noll. Men jag misstänker att jag då missförstår vad integraler används för inom exempelvis fysiken. Låt mig ta ett exempel:

Marios mormor har bestämt sig för att spara undan en viss mängd pengar åt Mario varje sekund. Summan motsvarar Marios ålder i sekunder i kvadrat. Summan hon sparar undan i varje sekund kan beskrivas med funktionen $f (x) = x^{2}$ . Ta reda på hur mycket pengar Mario har när han precis har fyllt tre år.

Tidigare skulle jag ha försökt lösa detta med en integral, men utifrån resonemanget ovan borde värdet man får då bli för litet. Men säg att man vill beräkna integralen ändå:

$\int_{0 s}^{9470777.9 s} f (x) d x \approx 2.82 \cdot 10^{23} k r$

Men om man beräknar summan av $f$ vid varje enskild sekund får man av någon anledning exakt samma sak:

$\sum_{x = 0 s}^{9470777.9 s} f (x) \approx 2.82 \cdot 10^{23} k r$

Men enligt vårt resonemang ovan borde ju summan ge ett större värde än integralen, men de blir av någon anledning lika stora? Hur kommer det sig?

Tillägg: 7 maj 2023 15:09

Är det kanske för att talen är så stora att det knappt blir någon skillnad?

naytte skrev:
Jag är inte riktigt med på varför varje rektangel får en bas som är 1 l.e lång.

Jag kan acceptera utifrån Riemannsummor att arean kommer bli mindre än summan av de enskilda funktionsvärdena, eftersom man multiplicerar varje funktionsvärde med ett tal som närmar sig noll. Men jag misstänker att jag då missförstår vad integraler används för inom exempelvis fysiken. Låt mig ta ett exempel:

Marios mormor har bestämt sig för att spara undan en viss mängd pengar åt Mario varje sekund. Summan motsvarar Marios ålder i sekunder i kvadrat. Summan hon sparar undan i varje sekund kan beskrivas med funktionen $f (x) = x^{2}$ . Ta reda på hur mycket pengar Mario har när han precis har fyllt tre år.

Tidigare skulle jag ha försökt lösa detta med en integral, men utifrån resonemanget ovan borde värdet man får då bli för litet. Men säg att man vill beräkna integralen ändå:

$\int_{0 s}^{9470777.9 s} f (x) d x \approx 2.82 \cdot 10^{23} k r$

Men om man beräknar summan av $f$ vid varje enskild sekund får man av någon anledning exakt samma sak:

$\sum_{x = 0 s}^{9470777.9 s} f (x) \approx 2.82 \cdot 10^{23} k r$

Men enligt vårt resonemang ovan borde ju summan ge ett större värde än integralen, men de blir av någon anledning lika stora? Hur kommer det sig?

Tillägg: 7 maj 2023 15:09

Är det kanske för att talen är så stora att det knappt blir någon skillnad?

Du saknar en $\Delta x$ i din summa, som är bredden på rektangeln. För att approximera en integral som ger en area under summan måste du ju summera areor, om du summerar f(x) får du ju bara en summa med höjder.

Och ja, din integral/summa som exempel är i ordningen 10^23, och att då säga att de är lika bara för att de har 3 första siffrorna lika är nog att dra lite stora växlar :)

Och det finns inget som säger att denna uppskattning blir varken mer eller mindre generellt. Exempelvis f(x)=2 så kommer ”approximationen” bli exakt.

Du saknar en $∆ x$ i din summa, som är bredden på rektangeln. För att approximera en integral som ger en area under summan måste du ju summera areor, om du summerar f(x) får du ju bara en summa med höjder.

Precis, det var ju det som var hela grejen. Jag ville jämföra arean med summan av funktionsvärdena.

Men för att sätta det hela i fysiktermer, vilket är det som förvirrar mig mest:

Säg att vi har ett radioaktivt ämne med en ursprungsaktivitet på 800 MBq och en halveringstid på 6.02 h. Bestäm hur många sönderfall som sker på ett dygn.

Då kan man utgå ifrån funktionen $A (t) = A_{0} \cdot e^{- λ t}$ . Det jag tänkte innan var att man skulle kunna beräkna antalet sönderfall med en integral. Då multiplicerar man ju varje aktivitet $A (t_{i})$ med ett oändligt litet tidsintervall och summerar alla, enligt $\int_{0 s}^{86400 s} A (t) d t = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} ∆ t \cdot A (t_{i})$ . Då får man en viss aktivitet. Då räknar man med att det sker sönderfall mellan varje sekund också, inte endast i ensekundsintervall. Men enligt det som vi har kommit fram till här i tråden kommer ju summan $\sum_{t = 0 s}^{86400 s} A (t)$ att vara större än integralen? Det vill säga: om det endast sker sönderfall i ensekundsintervall kommer antalet sönderfall vara större än om man räknar med att det sker sönderfall mellan sekunderna också??

Tillägg: 7 maj 2023 17:26

Precis på samma sätt som enheten [Bq] är sönderfall/s är enheten [m/s] sträcka/s. Så ett v-t diagramm kan sägas vara ett sträcka/s-t diagram. För att beräkna en färdad sträcka med ett v-t-diagram beräknar man ju integralen i tidsintervallet man färdas. Men varför ger det rätt svar? Eftersom man inte får rätt värde när man beräknar integralen i aktivitet-tid diagrammet borde man inte få det när man räknar på v-t-diagrammet heller.

Jag är nog inte riktigt med på vad du menar, men jag kan säga såhär: du kan inte jämföra en summa av fuktionsvärden med integralen av funktionen. Enheterna går inte ihop.

Om du däremot skulle summera f(1) + f(2) + f(3) så kan man säga att du implicit multiplicerat med $\Delta x = 1$ .

I det exempel du visar är det sönderfall. Funktionen är exponentiellt avtagande, så A(t) > A(t + h) där h är något positivt tal. Så ja, om du summerar A(t) för t=0, 1, 2,3,4.... kommer den summan bli större än integralen eftersom du approximerat integralen genom att säga att sönderfallet är konstant mellan t och t+1, men i verkligheten är det avtagande. A(t) säger att i tidpunkten t är sönderfallet A, så om det skulle hålla sig så i en sekund kommer totala sönderfallet vara A*1 s, men den håller sig inte konstant i en sekund, utan den minskar och under en sekund kommer det genomsnittliga sönderfallet vara lägre än A

Du kan jämföra det med att du har någon bit av något konstigt material där du vet att densiteten beskrivs av funktionen g(x,y,z). Bara för att densiteten i origo är g(0,0,0) = 100 kg/cm^3 betyder inte det att en kubikcentimeter av materialet runt origo kommer väga ens i närheten a 100 kg, densiteten i övrigt kanske är jättemycket högre eller lägre.

Tillägg: 7 maj 2023 19:00

Det här blir kanske lite överkurs med tanke på att jag nu ser att tråden ligger i matte 3, men men....

Okej, jag har då en fråga. Skulle man kunna beräkna antalet sönderfall för ämnet i fråga med hjälp av integralen? Jag förstår det då som att man skulle mäta sönderfall i oändligt små tidsintervall och sedan summera ihop dem. Stämmer detta?

naytte skrev:
Okej, jag har då en fråga. Skulle man kunna beräkna antalet sönderfall för ämnet i fråga med hjälp av integralen? Jag förstår det då som att man skulle mäta sönderfall i oändligt små tidsintervall och sedan summera ihop dem. Stämmer detta?

Ja, jo det skulle jag nog säga att man kan

Okej. Är anledningen till att detta resonemang med integraler inte fungerar på frågan med Mario och hans mormor som lägger undan pengar att hans mormor endast lägger undan pengar i diskreta ensekundsintervall och inte hela tiden varje möjlig tidsenhet?

Vid första anblick tänkte jag att det problemet och sönderfallsproblemet skulle vara ungefär samma sak, men sönderfallen sker ju hela tiden, inte bara varje sekund.

Ja, i fallet med Mario och hans mormor har du en styckvis konstant funktion, du kan approximera den med kontinuerliga kurvor för att skapa uppskattningar av dess värde, men du kan inte integrera den exakt utan att ta hänsyn till att den är styckvis konstant. Det minsta effektiva intervallet är ju $\Delta t= 1s$ .

När det gäller det radioaktiva sönderfallet har du en aktivitet som är kontinuerlig på intervallet. Du kan utan inskränkning låta $A(t)\Delta t \to A(t)dt$ och samla ihop alla värden (integrera).

Vad innebär det att funktionen är styckvis konstant? Egentligen borde väl funktionen inte ha en graf överhuvudtaget, utan endast vara ett antal punkter? Alltså funktionen i fallet med Mario.

EDIT: Jaha, betyder det att den ser ut något sånt här?:

Ja, det är ett antal utbetalningar / punkter, men det går att se som arean av ett antal rektanglar, alla med bredden $\Delta t=1s$ och höjden en konstant på intervallet. När man integrerar ska bredden $dt$ gå mot noll, men det går ju inte utan att krångla till det ordentligt.

Din graf ser lite suspekt ut, men jag tror du förstod. Här är den styckvis konstanta funktionen gul och $y=x^2$ blå. Den blå kurvan kan man integrera enkelt.

Jaha, och eftersom bredden är 1 s kommer varje area bli en utbetalning?

Ja, varje rektangels area blir en utbetalning.

Men det går inte att låta bredden $\Delta t=1s$ gå mot ett infinitesimalt element $dt$ på något enkelt sätt. Man måste behandla funktionen som en styckvis konstant funktion. Det är en stor skillnad jämfört med funktionen $A(t)$ .

En annan viktig skillnad är att Marios funktion är strängt växande, $A(t)$ är avtagande. Beroende på hur dina uppskattningar ser ut får det konsekvenser för över- och undersummor.

Jag förstår att man kan grafa det på det sättet för att lösa uppgiften, men egentligen beskriver väl den trappgrafen inte hur Mario får pengar egentligen? För den grafen är ju definierad över hela R⁺, men egentligen är väl funktionen endast definierad för heltal?

Ja, det kan vara ett exempel på en funktion som är definierad endast i ett ändligt antal konsekutiva heltalspunkter. För en sådan funktion bildar funktionsvärdena en ändlig talföljd $\{f(n)\}_{n=p}^{N}$

Men för att du ska kunna "integrera" funktionen med den begreppsapparat du har tillgänglig i matte 3 måste du smeta ut din funktion över mellanrummen på tallinjen. Annars får du räkna med summor.

Okej, då känner jag äntligen att jag är med igen, även om jag fortfarande tycker det är lite konstigt att $f (1) + f (2) + f (3) > \int_{0}^{3} f (x) d x$ . Inte just i det här fallet, men i allmänhet. Jag har testat att göra följande med ett antal grafer jag kunde tänka på:

1. Välj en känd typ av graf och bestäm en godtycklig funktion (som är strikt större än noll)

2. Integrera över ett bestämt område, där gränserna är heltal i den första kvadranten

3. Jämför värdet på integralen med summan av $f$ för varje heltalssteg i området man integrerar över (gränserna är inkluderade)

Det verkar som att $\sum_{x = a}^{b} f (x) > \int_{a}^{b} f (x) d x$ alltid gäller. Jag kan ju såklart inte uttala mig allmänt, men jag har testat några linjer och några exponentialfunktioner, och för dem verkar det gälla. Av ren nyfikenhet, kan ni komma på någon funktion som följer kraven ovan, där detta inte gäller?

Kanske lite fuskigt för summan att du inkluderar både a och b, men en funktion som detta inte gäller för är f(x)=0 om x är heltal, 1 annars.

Titta på D4niels illustration i inlägg #6, den tyckte jag var illustrativ

Tillägg: 8 maj 2023 22:11

Såg nu att du hade en kravlista, så jag säger f(x)=0.0000000001 om x är heltal, 1 annars

Med krav 2, menar du då att kurvan endast får inneslutas i första kvadrant eller räcker det med att a,b > 0?

Det är annars trivialt att motbevisa det med en periodisk funktion, ex. sinus.

Precis, jag menar att kurvan måste inneslutas med den första kvadranten. Kurvan får inte gå under x-axlen.

Jag tror att summan alltid kommer vara större, speciellt eftersom funktionen då är växande, och du inkluderar f(a) och f(b).

Man kan nog stänga in integralen mellan en vänstersidig RS och högersidig, typ:

$LRS < \int_a^b f(x) < RRS$ , men jag har inte provat. Det känns dock logiskt att summan alltid kommer vara större.

För att fortsätta på Hondels idé

$f(x)=1-\cos(2\pi x)+\varepsilon$

$f(1)+f(2)+f(3)=3\varepsilon$

$\displaystyle \int_0^3 f(x)\,dx=3+3\varepsilon$

$f(x)>0$ om $\varepsilon>0$ men $\displaystyle \int_0^3f(x)\,dx > f(1)+f(2)+f(3)$

spännande, det hade nog funkat utan epsilon D4NIEL. Din funktion fick mig att fundera i andra banor.

$f(x)=-(x-1)(x-2)$

$f(1)+f(2)=0$

$\displaystyle \int_1^2 f(x)dx = 1/6 > f(1)+f(2)$

$f(x)=-x(x-1)e^x$ fungerar också mellan [0, 1] med samma idé som ovan.

Dracaena skrev:
spännande, det hade nog funkat utan epsilon D4NIEL.

Nä, naytte har en regel

1. Välj en känd typ av graf och bestäm en godtycklig funktion (som är strikt större än noll)

Ah, du har rätt, jag fuskade lite. Jag fick för mig att den endast behövde vara positiv inom [a,b].

Ny trigonometrisk funktion som förslag: f(x)=sin^2(pi*x) + epsilon, där epsilon >0.

som jag tänker på det är att om du summerar f(x) för ett antal heltal, så approximerar du en integral genom att säga att funktionen är konstant mellan x och x+1. Om du då hittar en funktion som mellan x och x+1 i genomsnitt är större än f(x), ja då kommer integralen bli större.

Oj vad tråden har varit livlig!

En fråga bara: vad exakt innebär $ε$ ? Är det ett sådant där "hyperreellt tal" eller är det bara en variabel?

$f(x)=|x \sin x| + \epsilon$ fungerar.

ex:

$f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=3.08343$ med $\epsilon = 0.0000000001$ men integralen är 3.1111

$\epsilon$ är ett väldigt litet tal större än noll.

Okej, tack för svar!

Jag har i alla fall tittat på om jag på något sätt kan visa det för en funktion $f (x) = x^{2}$ . Det är ju denna funktion som min ursprungliga fråga handlade om. Jag har kommit en bit på vägen men jag tror jag behöver lite hjälp.

Jag har kommit fram till att $\sum_{x = a}^{b} f (x) = \frac{b (b + 1) (2 b + 1) - a (a - 1) (2 a - 1)}{6}$ .

Dessutom vet jag ju sedan tidigare att $\int_{a}^{b} f (x) d x = \frac{b^{3} - a^{3}}{3}$ .

Det jag vill visa nu är att $\sum_{x = a}^{b} f (x) > \int_{a}^{b} f (x) d x$ för alla $a, b \in ℤ^{+}$ (eller där a=0), och där $b > a$ . Jag vill visa det ordentligt, med någon form av bevisföring. Den enda typen jag känner till i nuläget är induktionsbevis, men jag vet inte hur applicerbart det är här. Har ni några idéer?

Man kanske bara kan visa att det gäller då differensen av summan och integralen alltid blir >0? Det verkar som ett ganska enkelt sätt.