Varför blir det rätt när jag sätter argumentet lika med π/2?
Uppgiften är att man ska bestämma en funktion på formen , med följande information:
En maximipunkt har koordinaterna (3π/4 | 1) och nästliggande minimipunkt har koordinaterna (11π/4 | -3). Jag vet inte om det spelar någon roll men maximipunkten är den första maximipunkten efter x=0.
Att bestämma A och d är inte så klurigt. Eftersom det är trivialt kommer jag bara skriva vad det blev: A=2 och d=-1. Då kan funktionen skrivas på följande form:
.
Nu kommer vi till det jag undrar över. Jag tänkte att man kan skapa ett ekvationssystem för att bestämma k och v, då man vet att sin-funktionen i maximipunkten kommer anta sitt största värde (1) och minimipunkten sitt lägsta (-1). Alltså:
och .
Det problematiska nu är att det inte bara går att "arcsina" hur som helst, för det finns ju oändligt många värden på k och v som uppfyller dessa krav. Det jag gjorde var att lösa:
Men det finns jättemånga olika vinklar som gör att detta ekvationssystem stämmer. T.ex. är π/2+2π också en vinkel som gör att sin-funktionen blir 1. Men om jag hade använt det istället hade det blivit fel. Jag förstår inte varför det jag har gjort fungerar.
sin(3π/4k+v)=1 och sin(11π/4k+v)=−1.
Detta behövs inte.
Du vet att den ”vanliga” sinuskurvan y = sinx har perioden 2pi. Där är det alltså 180° mellan ett maxvärde och nästa minvärde (jag skriver i grader för att jag inte har ett pi-tecken.)
Då är det så här: Kurvan sin(10x) har 18° mellan ett max och nästa min. Kurvan sin(qx) har 180/q grader mellan ett max och nästa min.Ju större q desto mer kläms kurvan ihop, som ett dragspel.
I din kurva är det 360° grader mellan ett max och nästa min, det är dubbelt så brett som i den ”vanliga” kurvan, så det motsvarar en kurva y = sin(x/2). I din kurva finns alltså en faktor 0,5 som drar isär dragspelet. Din funktion kan skrivas
y = 2 sin (x/2 +v) –1, dvs k = 1/2.
Nu är k klart. Återstår v. Den vanliga kurvan y = sin x skjuts v steg åt VÄNSTER om du skriver y = sin(x+v) i stället, åt HÖGER om du ändrar till y = sin(x–v). Din kurva har en maxpunkt för x/2 = 135°, dvs för x = 270°. Den vanliga kurvan har sin maxpunkt vid x = 90°.
Nu måste jag tänka litet själv så jag inte rör till det.
Jag tog helt enkelt samma ekvationssystem som du fick fram och löste för k i E1 och stoppade in i E2 och då fick jag , sedan stoppade in det i E1 och fick att . Enligt en grafritare så verkar denna lösning stämma bra. Det är mycket möjligt att det finns andra lösningar, det var länge sedan jag gjorde dessa typer av uppgifter.
Detta behövs inte.
Jag förstår att det kan finnas andra sätt att lösa uppgiften på, men jag vill förstå varför just det här sättet fungerar och varför vi måste välja just π/2 och 3π/2 som HL i ekvationerna. Väljer man inte dessa blir det fel, och det är det jag vill gå till botten med.
Jag fick bryta.
Du undrar varför man måste välja just pi/2 och 3pi/2. Det behöver du nog inte. Eftersom sinusfunktionen är periodisk är graferna till sin x, sin (x+2pi), sin (x+4pi) identiska, max och minställena ligger i samma punkter.
Så här skulle jag lösa uppgiften. Kalla y = sin x för standardkurvan.
Den givna kurvan har max 1 och min –3. Amplituden är dubbelt så stor som hos standardkurvan vi skriver
y = 2 sin x (1)
Den givna kurvan ligger en enhet lägre än standard, vi skriver
y = 2sinx –1. (2)
Den givna kurvan har period 2 gånger 360°, vi delar argumentet x i standardkurvan med 2 och får
y = 2 sin(x/2) –1 (3)
Nu kommer det svåra steget, här fick jag tänka efter. Standardkurvan har max när x = 90°, den givna kurvan när x = 135°. Det ger
135/2 + v = 90
135 + 2v = 180
v = 45/2 grader som ger
y = 2 sin (x/2 + pi/8) – 1 (4)
Allmänt har vi säg 3y = 5x + 2
Om du byter y mot y+7 så flyttas kurvan 7 steg nedåt:
3(y+7) = 5x+2
Om du byter x mot x+8 så flyttas kurvan 8 steg åt vänster.
0m du byter x mot x/4 så dras kurvan ut och blir ”4 gånger så bred”.
Osv…
Men om vi skulle välja en annan vinkel som också gör att cosv = 1, till exempel π/2+2π, då skulle värdena för k och v bli annorlunda.
Jag tror du menar sin och inte cos.
Jag har inte kollat, men det verkar mycket rimligt.
y = sin t och y = sin (t+2pi) har samma graf, men om du tänker dig att t står för tid så ligger den ena kurvan ett varv före den andra, Sådant kan vara intressant om man vill följa partiklars rörelse i rummet. sin t och sin (–t) följer också samma bana men åt olika håll. Vid t = 0 så krockar de…
Ja, jag menade såklart sin.
Kruxet är att jag inte förstår hur man vet just vilken vinkel man ska välja. I mitt fall valde jag de minsta positiva vinklarna som fanns som löser ekvationerna sinv=1 och sinv=-1, men vinkelurvalet är ju egentligen oändligt. Dock ges fel svar för alla vinklar FÖRUTOM de jag valde.
Jag tror jag kom på det. Om man vandrar i enhetscirkeln kommer man komma till ett värde på x som gör att argumentet blir π/2. Det motsvarar då den första maximipunkten. Samma resonemang gäller för minimipunkten. För den andra maximipunkten ska vinkeln vara π/2+2π istället, osv.
Från en maximipunkt till nästliggande minimipunkt är det ett halvt varv. (kx + v) ökar alltså med pi. Eller minskar med pi, om man så vill.
x-koordinaterna för de två punkterna är 3pi/4 och 11pi/4, med en skillnad på precis 2pi. Då måste k vara 1/2 för att skillnaden mellan (kx + v) för de båda punkterna skall bli pi, helt oberoende av vad v är.
Nu vet du att sin( 3pi/8 + v ) = 1 och kan fortsätta.
naytte:
”Dock ges fel svar för alla vinklar FÖRUTOM de jag valde.”
Jo, om det är en uppgift där du skriver in ditt svar i en box, så tror jag inte att det finns en AI som kollar att ditt svar är likvärdigt med facit :)
Du har kanske lämnat uppgiften. Jag har gjort annat, men nu har jag sett hur jag borde tänkt. Take it or leave it:
Jag ska välja v så att sin(x/2+v) får maximum för x = 135°.
sin(x/2) har max för x = 180°, alltså 45° för långt åt höger. Om vi ersätter x med x+45 så glider kurvan 45° åt vänster. Alltså
sin[(x+45)/2] = sin (x/2 + 22,5°)
Jag fastnade på att jag ville lägga 45 grader till x/2. Men det är x som ska ha tillägget.
Bubo skrev:Från en maximipunkt till nästliggande minimipunkt är det ett halvt varv. (kx + v) ökar alltså med pi. Eller minskar med pi, om man så vill.
x-koordinaterna för de två punkterna är 3pi/4 och 11pi/4, med en skillnad på precis 2pi. Då måste k vara 1/2 för att skillnaden mellan (kx + v) för de båda punkterna skall bli pi, helt oberoende av vad v är.
Nu vet du att sin( 3pi/8 + v ) = 1 och kan fortsätta.
Hade uppgiften varit lösbar om man inte hade vetat att punkterna låg bredvid varandra? Alltså säg att man bara fick en godtycklig maximi- och minimipunkt. Hur hade man gjort då?
Nej du behöver veta antal extrempunkter mellan de två givna. Du kan förstås skriva ett uttryck som har detta antal ingående som variabel.
