Varför blir det inte två asymptoter

2340

a) Bestäm utan räknare eventuella extrempunkter till $f (x) = x^{3} - 15 x - \frac{12}{x}$

b) Rita grafen med hjälp av räknare. Ange funktionens asymptoter och värdemängd.

Jag behöver hjälp med b) angående asymptoterna. Jag har fått fram att y-axeln är en asymptot men förstår inte varför x^3 inte blir en asymptot.

När x går mot oändligheten, menar du? Om $x^3$ ska vara en asymptot så ska avståndet mellan $f(x)$ och $x^3$ gå mot noll när x går mot oändligheten. Men:

$f(x) - x^3 = x^3 -15x - \dfrac{12}{x} - x^3 = -15x - \dfrac{12}{x}$

Det här avståndet kommer bara öka när x går mot oändligheten, pga termen -15x som växer obehindrat.

Bra . Du har hittat en vertikal asymptot.

Fråga: Finns sneda/horisontella asymptoter? Dvs finns det rät linje som funktionskurvan närmar sin "långt ute i svansarna" på x-axeln?

En asymptot är en rät linje som en funktion närmar sig. Därför är som du säger y-axeln (eller x=0) en lodrät asymptot, när x närmar sig 0 går ju funktionen mot att följa en rät linje.

Om man däremot rör sig mot positiva och negativa oändligheten så är det sant att x^3-termen tar över och blir dominant vilket gör att funktionen beter sig likt x^3. Däremot så är ju inte x^3 en rät linje. Det är därför ingen asymptot

Hondel skrev:
En asymptot är en rät linje som en funktion närmar sig. Därför är som du säger y-axeln (eller x=0) en lodrät asymptot, när x närmar sig 0 går ju funktionen mot att följa en rät linje.
Om man däremot rör sig mot positiva och negativa oändligheten så är det sant att x^3-termen tar över och blir dominant vilket gör att funktionen beter sig likt x^3. Däremot så är ju inte x^3 en rät linje. Det är därför ingen asymptot

Det stämmer inte, kurvor kan också vara asymptoter. Visserligen stöter man nog inte på dem i matte 4, men det är inte som att x^3 går bort definitionsmässigt.

Skaft skrev:
När x går mot oändligheten, menar du? Om $x^3$ ska vara en asymptot så ska avståndet mellan $f(x)$ och $x^3$ gå mot noll när x går mot oändligheten. Men:
$f(x) - x^3 = x^3 -15x - \dfrac{12}{x} - x^3 = -15x - \dfrac{12}{x}$
Det här avståndet kommer bara öka när x går mot oändligheten, pga termen -15x som växer obehindrat.

Skulle inte då x^3-15x vara en asymptot då? Avståndet mellan den och f(x) går ju då mot noll då x går mot oändligheten

Caolah skrev:
Skulle inte då x^3-15x vara en asymptot då? Avståndet mellan den och f(x) går ju då mot noll då x går mot oändligheten

Jo! Helt rätt. Men boken nämner kanske inte den? Den sortens asymptoter tror jag inte anses ingå i kursen.

Skaft skrev:
Caolah skrev:
Skulle inte då x^3-15x vara en asymptot då? Avståndet mellan den och f(x) går ju då mot noll då x går mot oändligheten
Jo! Helt rätt. Men boken nämner kanske inte den? Den sortens asymptoter tror jag inte anses ingå i kursen.

Nej, den asymptoten står inte med i facit. Men då vet jag att jag inte tänkte helt fel iallafall. Tack så mycket för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar