Varför blir det fel när jag försöker ändra integreringsgränserna?

God kväll, Pluggakuten!

Jag stötte på en fråga nyligen här på Pluggakuten, där man skulle beräkna följande bestämda integral:

$\displaystyle \int_{0}^{1}\sqrt{x(x+1)}\mathrm{d}x$

Jag ansatte då följande substitution: $\displaystyle x=\tan^2{\theta}$ . Detta ger att $\displaystyle \mathrm{d}x=2\tan{\theta} \sec^2{\theta} \mathrm{d}\theta$ .

Nu kommer vi till integreringsgränserna. Jag tänkte att gränserna borde vara $[0, \pi/4]$ , men detta ger inte rätt svar. Med andra ord tänkte jag att:

$\displaystyle \int_{0}^{1}\sqrt{x(x+1)}\mathrm{d}x=\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{\tan^2\theta(\tan^2\theta+1)}2\tan\theta\sec^2\theta\mathrm{d}\theta$

Jag lyckas få fram rätt primitiva funktion till den högra integralen men jag lyckas inte få till integreringsgränserna, verkar det som. För mina integraler får ej samma värde. Vad är det som har blivit fel med mina integreringsgränser?

Visa hur du kom fram till dina gränser.

Jag bara tyckte de verkade logiska, det är så jag brukar trigsubba. Jag tänkte att jag måste hitta ett stängt intervall för theta, sådant att:

$\displaystyle 0\le\tan^2{\theta}\le 1$

och då sade någon på hjärnkontoret att detta intervall var $[0, \pi/4]$ .

Men han som föreslog det intervallet kanske borde få sparken?

Det kanske han borde få. När du subbar så ska du väl sätta in den nedre och övre gränsen:

0 = tan²(theta)

Lös ut theta för nedre gränsen.

1 = tan²(theta)

Lös ut theta för övre gränsen.

Det är väl såhär man gör? Eller har jag blivit galen?

Jo det är så man brukar göra. Och det var det jag tänkte också i hasten. Den nedre gränsen är ju fortfarande 0, så då är det den övre gränsen som är fel. Löser jag den ekvationen får jag:

$\displaystyle \theta = \pi(\frac{1}{2}n-\frac{1}{4})$

Här tänkte jag med mitt enkla förstånd att jag borde välja den lösning som uppstår då n=1 eftersom jag då får ett fint, positivt intervall. Men det kanske inte stämmer. Vilket intervall föreslår du annars?

Får detta:

$θ = \{\begin{cases} \frac{π}{4} + π * n \\ - \frac{π}{4} + π * n \end{cases}$

Så du har beräknat för n=0. Men detta var ju fel..😶

Ingen av de lösningsmängderna innehåller väl något theta som gör att tan^2(theta)=0?

EDIT: jag var bara halvt efterbliven när jag slog det hela på räknaren... Jag insåg nu att jag hade glömt halva integranden på något vänster. Pinsamt. Men integreringsgränserna jag hade kommit fram till stämde. Så han på hjärnkontoret får kanske en befordran istället?

naytte skrev:
Ingen av de lösningsmängderna innehåller väl något theta som gör att tan^2(theta)=0?

Förstår ej vad du menar.

EDIT: jag var bara halvt efterbliven när jag slog det hela på räknaren... Jag insåg nu att jag hade glömt halva integranden på något vänster. Pinsamt. Men integreringsgränserna jag hade kommit fram till stämde. Så han på hjärnkontoret får kanske en befodran istället?

Han var ju den skarpaste här iaf:)

Förstår ej vad du menar.

Nu förstår jag dock vad du menade. Så glöm den kommentaren!

naytte skrev:

Förstår ej vad du menar.

Nu förstår jag dock vad du menade. Så glöm den kommentaren!

Perfekt.

Svara

Visa senaste svar