varför blir det 0 vid andra derivatan? (Matematik/Matte 3)

Har du nåt exempel att utgå ifrån?

Nej, det går inte alls att koppla andraderivatans nollställen till funktionens extrempunkter.

Det är när förstaderivatan är 0 som funktionen har en stationär punkt. Funktionen behöver inte alls ha en stationär punkt där andraderivatan är 0.

EDIT - förtydligade att det är andraderivatans värde vid den stationära punkten jag syftar på här nedan

Om andraderivatan deremot är negativ vid den stationöra punkten så är den stationära punkten en minpunkt.
Om andraderivatan däremot är positiv vid den stationära punkten så är den stationära punkten en maxpunkt.

Om andraderivatan är positiv så ökar derivatan. Det blir alltså brantare uppförsbacke åt höger, alternativt mindre brant nerförsbacke åt höger.

Om andraderivatan är negativ så minskar derivatan. Det blir alltså brantare nerförsbacke år höger, alternativt mindre brant uppförsbacke år höger.

Yngve skrev:
Nej, det går inte alls att koppla andraderivatans nollställen till funktionens extrempunkter.
Det är när förstaderivatan är 0 som funktionen har en stationär punkt. Funktionen behöver inte alls ha en stationär punkt där andraderivatan är 0.
Om andraderivatan deremot är negativ vid den punkten så är den stationära punkten en minpunkt.
Om andraderivatan däremot är positiv vid den punkten så är den stationära punkten en maxpunkt.

Du beskrev väl precis kopplingen till extrem punkterna.

Tror ni har missförståt min fråga. Varför måste man göra en teckentabell när andra derivatan är 0. Vad innebär det egentligen? Varför blir det 0? Varför är det en extrempunkt?

Som tidigare nämnt sa någon något om att det handlar om taylorserier, eller något sådant, men förstår inte varför.

Nej jag beskrev kopplingen mellan förstaderivatan och extrempunkterna.

EDIT - Jag har förtydligat mitt tidigare svar.

-----------

Och jag skrev att funktionen inte behöver ha en extrempunkt bara för att andraderivatan är lika med 0.

Exempel:

$f(x)=x^3-3x$ har extrempunkter där $f'(x)=0$ , dvs där $3x^2-3=0$ , dvs där $x_1=-1$ och $x_2=1$ .

Andraderivatan $f''(x)=6x$ , som har värdet 0 då $x=0$ . Men det är inte alls en extrempunkt till $f(x)$ .

I en terrasspunkt är både förstaderivatan och andraderivatan noll, och det betyder då att förstaderivatan har ett minimum eller maximum, såvida inte tredjederivatan är noll. I ett fall så stiger kurvan, långsammare och långsammare, tills den är horisontell och sen börjar den stiga igen. Då har vi träffat på en terrasspunkt, och där har förstaderivatan sitt lokala minimumvärde 0. I ett annat fall sjunker kurvan, med motsvarande resonemang.

Hjälpte detta?

Det du antagligen är ute efter är vad som händer då både första- och andraderivatan är lika med 0 i en punkt.

Ta till exempel funktionerna $f(x)=x^3$ och $g(x)=-x^3$ .

För båda dessa funktioner gäller att både första- och andraderivatan är lika med 0 vid $x=0$ .

Andraderivatans värde ger oss då ingen information om extrempunkternas karaktär.

Därför måste vi använda andra knep för att ta reda på dessa, till exempel en teckentabell.

Yngve skrev:
Det du antagligen är ute efter är vad som händer då både första- och andraderivatan är lika med 0 i en punkt.
Ta till exempel funktionerna $f(x)=x^3$ och $g(x)=-x^3$ .
För båda dessa funktioner gäller att både första- och andraderivatan är lika med 0 vid $x=0$ .
Andraderivatans värde ger oss då ingen information om extrempunkternas karaktär.
Därför måste vi använda andra knep för att ta reda på dessa, till exempel en teckentabell.

Jag det är ju nästan vad jag försöker få fram, det jag frågar är varför innebär andra derivatan att det är en maximi, minimi eller en terraspunkt. Utöver det undrar jag även varför värden under 0 för andra derivatan känntecknar maximipunkter och viceversa med minimi. Det går inte ihop för mig.

Skissa grafen till en funktion f(x) i ett koordinatsystem. Det spelar ingen roll hur grafen ser ut men se till att den har tre stationära punkter: En minpunkt, en maxpunkt och en terrasspunkt.

Rita ett koordinatsystem under det första och skissa där grafen till funktionens derivata, dvs f'(x). Du ser då att derivatan har värdet 0 vid de tre stationära punkterna.

Rita nu ett tredje koordinatsystem under det andra och skissa där grafen till derivatan av derivatan, dvs funktionens andraderivata f''(x). Du ser då att andraderivatan är negativ då f(x) har en maxpunkt, positiv då f(x) har en minpunkt och lika med 0 då f(x) har en terrasspunkt.

Visa dina skisser.

Att skissa och prova låter som en bra ide. Här har du en graf med blandad karaktär:

$y = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$

Yngve skrev:
Skissa grafen till en funktion f(x) i ett koordinatsystem. Det spelar ingen roll hur grafen ser ut men se till att den har tre stationära punkter: En minpunkt, en maxpunkt och en terrasspunkt.
Rita ett koordinatsystem under det första och skissa där grafen till funktionens derivata, dvs f'(x). Du ser då att derivatan har värdet 0 vid de tre stationära punkterna.
Rita nu ett tredje koordinatsystem under det andra och skissa där grafen till derivatan av derivatan, dvs funktionens andraderivata f''(x). Du ser då att andraderivatan är negativ då f(x) har en maxpunkt, positiv då f(x) har en minpunkt och lika med 0 då f(x) har en terrasspunkt.
Visa dina skisser.

Tänker jag fel? Jag ser fortfarande inte 0 vid andragrad av terraspunkt, har även för mig att bara för att andragradsekvationen är noll innebär det inte nödvändigtvis att det är en terraspunkt. Känns som jag gjort fel på andra derivatan. det här är helt fel.

Ange vilken funktion du har använt för f(x).

oneplusone2 skrev:
Ange vilken funktion du har använt för f(x).

Det är ingen funktion, utan ritade av en funktion, därefter skissade jag derivatan och andra derivatan.

OlafJohansson21 skrev:
oneplusone2 skrev:
Ange vilken funktion du har använt för f(x).
Det är ingen funktion, utan ritade av en funktion, därefter skissade jag derivatan och andra derivatan.

Med siffror blir det lättare. Gör samma sak för den funktionen jag föreslog ovan, om du vill.

$y = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$

oneplusone2 skrev:
OlafJohansson21 skrev:
oneplusone2 skrev:
Ange vilken funktion du har använt för f(x).
Det är ingen funktion, utan ritade av en funktion, därefter skissade jag derivatan och andra derivatan.
Med siffror blir det lättare. Gör samma sak för den funktionen jag föreslog ovan, om du vill.
$y = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$

Den har ju ingen terraspunkt

Rita y,y',y'' med alla nollställen och min/max angivna.

Om du med hjälp av y' och y'' kan motivera hur y ser ut så har du kommit en bra bit. Det är sant att ingen terasspunkt finns, istället finns det en sadelpunkt.

OlafJohansson21 skrev:
oneplusone2 skrev:
Ange vilken funktion du har använt för f(x).
Det är ingen funktion, utan ritade av en funktion, därefter skissade jag derivatan och andra derivatan.

Och de skisserna var väl helt okej, eller? Vad var fel med dom?

oneplusone2 skrev:
Rita y,y',y'' med alla nollställen och min/max angivna.
Om du med hjälp av y' och y'' kan motivera hur y ser ut så har du kommit en bra bit. Det är sant att ingen terasspunkt finns, istället finns det en sadelpunkt.

Skaft skrev:
OlafJohansson21 skrev:
oneplusone2 skrev:
Ange vilken funktion du har använt för f(x).
Det är ingen funktion, utan ritade av en funktion, därefter skissade jag derivatan och andra derivatan.
Och de skisserna var väl helt okej, eller? Vad var fel med dom?

tror det blir fel vid första extremt punkten, det ska vara linjärt har jag för mig

Jag tycker som sagt skisserna ser bra ut. Förstaderivatan är ju typ som en linje vid den första extrempunkten:

I det röda området lutar y först uppåt, sen inget, sen nedåt. Så förstaderivatan är först positiv, sen noll, sen negativ. Och andraderivatan på samma intervall är bara negativ, eftersom förstaderivatan bara lutar nedåt. Stämmer bra.

OlafJohansson21 skrev:
oneplusone2 skrev:
Rita y,y',y'' med alla nollställen och min/max angivna.
Om du med hjälp av y' och y'' kan motivera hur y ser ut så har du kommit en bra bit. Det är sant att ingen terasspunkt finns, istället finns det en sadelpunkt.

Ok så nu vet du följande
y är av typen x^3 med 3 nollställen
y' är av typen x^2 med 2 nollställen

Antag att du enbart har tillgång till den informationen samt grafen för y''. Rita y'' på ett separat papper utan de andra graferna. Försök mha y'' och infon ovan återskapa grafen för y och y' .

oneplusone2 skrev:
OlafJohansson21 skrev:
oneplusone2 skrev:
Rita y,y',y'' med alla nollställen och min/max angivna.
Om du med hjälp av y' och y'' kan motivera hur y ser ut så har du kommit en bra bit. Det är sant att ingen terasspunkt finns, istället finns det en sadelpunkt.
Ok så nu vet du följande
y är av typen x^3 med 3 nollställen
y' är av typen x^2 med 2 nollställen

Antag att du enbart har tillgång till den informationen samt grafen för y''. Rita y'' på ett separat papper utan de andra graferna. Försök mha y'' och infon ovan återskapa grafen för y och y' .

Ja du vet när andra derivatan är som störst samt vad för punkt det är. Det i sin tur leder Till att du kan bestämma lutningen till första derivatan vid den punkten ifall et är possitiv eller negativt.

Skaft skrev:
Jag tycker som sagt skisserna ser bra ut. Förstaderivatan är ju typ som en linje vid den första extrempunkten:
I det röda området lutar y först uppåt, sen inget, sen nedåt. Så förstaderivatan är först positiv, sen noll, sen negativ. Och andraderivatan på samma intervall är bara negativ, eftersom förstaderivatan bara lutar nedåt. Stämmer bra.

Ja i helhet ser det väl bar ut med tecken växling, men den tredje ska ju vara linjär.

Jag har fortfarande svårt att förstå vad det är du tycker är fel. "Den tredje ska vara linjär". Den tredje vadå? Den tredje bilden? Isåfall, nej andraderivatan förväntas inte vara en linje i det här fallet. Ursprungskurvan har två extrempunkter och en terasspunkt: det motsvarar ett femtegradspolynom (gradtal 1 om det vore en linje, därefter +1 för varje "vändning" grafen gör - terasspunkten är två vändningar, extrempunkterna en). Derivera det två gånger så minskar gradtalet med 2, så du får ett tredjegradspolynom. Och din andraderivata ser väl ut som en tredjegradskurva.

Skaft skrev:
Jag har fortfarande svårt att förstå vad det är du tycker är fel. "Den tredje ska vara linjär". Den tredje vadå? Den tredje bilden? Isåfall, nej andraderivatan förväntas inte vara en linje i det här fallet. Ursprungskurvan har två extrempunkter och en terasspunkt: det motsvarar ett femtegradspolynom (gradtal 1 om det vore en linje, därefter +1 för varje "vändning" grafen gör - terasspunkten är två vändningar, extrempunkterna en). Derivera det två gånger så minskar gradtalet med 2, så du får ett tredjegradspolynom. Och din andraderivata ser väl ut som en tredjegradskurva.

Oj, förlåt mig, jag hade fastnat med att det var en fjärdegradskurva, hur ser du att det är en femtegradskurva?

Om du tänker dig kurvan som en väg man kör på, sedd uppifrån, så kan man tänka sig det minsta möjliga gradtalet som antal svängar du behöver göra, plus ett. Så om du börjar längst från vänster på grafen, så kör du rakt fram men måste svänga höger för att runda maxpunkten. Sen måste du svänga vänster för att komma runt minpunkten. För att komma genom terasspunkten måste du först svänga höger, sen vänster. Så fyra svängar, plus ett, ger fem.

OlafJohansson21 skrev:
Tänker jag fel? Jag ser fortfarande inte 0 vid andragrad av terraspunkt, har även för mig att bara för att andragradsekvationen är noll innebär det inte nödvändigtvis att det är en terraspunkt. Känns som jag gjort fel på andra derivatan.
...
det här är helt fel.

Din skiss är utmärkt.

Jag har med rött markarkerat att vid terrasspunkten så är både första- och andraderivatan lika med 0.

Det stämmer även att det inte måste vara en terrasspunkt bara för att andraderivatan är lika med 0, som din skiss tydligt visar (vid andraderivatans två andra nollställen).

Om du gör samma typ av skiss över en graf som endast innehåller en terrasspunkt "åt andra hållet", dvs nedförsbacke, så ser du att även där så är både första- och andraderivatan lika med 0.