Varför blir denna primitiva funktionen fel?

Hej!

Jag kollade igenom ett gammalt nationellt prov för Matte 4 och stötte på denna uppgiften:

Såhär löste jag denna uppgiften:

$$\begin{gathered} A =\hspace{0.17em}{\mathrm{\pi y}}^2 = \mathrm{\pi }{\left(4-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)}^2 \\ 4-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} = 0 -> {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} =\hspace{0.17em}4 -> \mathrm{x} = \ln 4 \\ \mathrm{V} =\frac{\hspace{0.17em}\mathrm{\pi }{(4-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}})}^3}{-3{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}} \\ {\int }_0^{\ln 4}{\mathrm{\pi y}}^2\mathrm{dx} =\hspace{0.17em}\frac{\hspace{0.17em}\mathrm{\pi }{(4-{\mathrm{e}}^{\ln 4})}^3}{-3{\mathrm{e}}^{\ln 4}}-(\frac{\hspace{0.17em}\mathrm{\pi }{(4-{\mathrm{e}}^0)}^3}{-3{\mathrm{e}}^0} =\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{\pi }{\left(4-1\right)}^3}{3} = \mathrm{\pi }{3}^2 =\hspace{0.17em}9\mathrm{\pi } \\ \mathrm{Svar}: 9\mathrm{\pi } \mathrm{v}.\mathrm{e} \end{gathered}$$

Dock så är rätt svar 17.8 ( mitt blir ca 28.3 ). När jag kollade på hur andra löste det så verkar det som att de bestämmer den primitiva funktionen annorlunda, dvs genom att utveckla parantesen (4-e^x)^2 och sedan göra en primitiv funktion av det. Jag förstår hur det fungerar, vad jag är mer nyfiken på är varför mitt sätt blir fel.

Jag tänker ju att om $y =\hspace{0.17em}\frac{\hspace{0.17em}\mathrm{\pi }{(4-{\mathrm{e}}^x)}^3}{-3{\mathrm{e}}^x} är y\text{'}=\frac{3\mathrm{\pi }{(4-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}})}^2\times (-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}) }{-3{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}<- \mathrm{inre} \mathrm{derivatan}..? :\mathrm{s}$pga kedjeregeln och allt det där.

Om någon hade kunnat upplysa mig kring varför detta är fel hade jag varit evigt tacksam! :)