Varför beskrivs pendelns period av en sinusfunktion?

Vår klass fick som uppgift att undersöka perioden på en pendel och i diskussionsdelen måste vi skriva om vilken funktion som beskriver rörelsen samt argumentera för varför. Jag vet att pendelns period beskrivs med en sinusfunktion men förstår inte varför perioden inte kan beskrivas av t.ex en cosinusfunktion. Jag har sökt på internet men inte lyckats hitta något svar, så jag försökte jämföra definitionerna på de två funktionerna och hittade att cosinusfunktionen beskrivs som jämn och sinusfunktionen som udda. Fortfarande förstår jag inte hur detta skulle kunna vara kopplat till min uppgift eller varför perioden av en pendel beskrivs med en sinusfunktion.

Tack för all hjälp!

Vad för sorts pendel pratar vi om?

Sinus och cosinus är väldigt lika, det är bara en förskjutning i skillnad. Så om du startar pendeln på ett annat sätt går det säkert bra med cosinus också.

(Sinus är för övrigt en approximation vad jag kommer ihåg).

Det skulle gå precis lika bra att beskriva det som en cosinus-funktion.

Jag vet inte var du fått sinus ifrån, har du läst på wikipedia? Där finns tre olika härledningar av differentialekvationen för en enkel matematisk pendel. Du kan använda krafter, moment eller energi och få följande differentialekvation:

$\displaystyle \dfrac{d^{2} \theta}{dt^{2}} + \dfrac{g}{L} \sin\theta = 0$

På gymnasienivå måste du göra en approximation för små svängningar så att $\sin\theta \approx \theta$ vilket ger:

$\displaystyle \dfrac{d^{2} \theta}{dt^{2}} + \dfrac{g}{L} \theta = 0$

Detta är en andra ordningens differentialekvation som du normalt lär dig lösa i Matematik 4. Lösningen, vilken du kan läsa om på wikipedia eller säkert i din bok är:

$\theta\left(t\right) = \theta_{0} \cos \left(\sqrt{\dfrac{g}{L}}t\right)$

Här är det viktigt att vinkeln du släpper pendeln från är väldigt liten, $\theta_{0} \ll 1$ . Oavsett så är det cosinus här och det är bara en konsekvens av begynnelsevärden som gör att vid tiden $t = 0$ så vill vi att amplituden på den periodiska funktionen är $\theta \left(t = 0\right) = \theta_{0}$ . Hade du haft sinus hade du inte fått det.

Andra ordningens diffekvationer ingår inte ens i Ma5 nu för tiden.

Det handlar om fysikalisk pendel. Tack för förklaringen! :)

En matematisk pendel är en idealiserad modell av en fysikalisk pendel. Jag kan garantera dig att det du beräknar är en matematisk pendel eftersom en fysikalisk pendel är extremt komplicerad att beskriva matematiskt. Det kräver kunskap om något som kallas Legendrepolynom och dess tillämpning för att lösa elliptiska differentialekvationer.

Smaragdalena skrev:
Andra ordningens diffekvationer ingår inte ens i Ma5 nu för tiden.

När ändrade de det? En bok som min bror har från 2014 har med andra ordningens i Ma4. Det är ett (*)-avsnitt men hans lärare gick igenom det. Du kan även se det här:

Matteboken.se (differentialekvationer)

Det finns i vissa Ma5-böcker, men det finns inte i kursen Ma5.

Svara

Visa senaste svar