Varför är vektorerna linjärt oberoende?

Beakta ekvationen

a(u + v) + b(v + w) + c(u + w) = 0. 

Är a = b = c = 0 den enda lösningen?

Utnyttja att du vet att u, v och w är linjärt oberoende.

Vad kan du säga om $(u-v)+(v-w)$?

Vad kan du säga om $span\left\{\right(u-v), (v-w\left)\right\}$?

Vad innebär detta för mängden $\left\{\right(u-v), (v-w), (u-w\left)\right\}$?

PATENTERAMERA skrev:

Beakta ekvationen

a(u + v) + b(v + w) + c(u + w) = 0. 

Är a = b = c = 0 den enda lösningen?

Utnyttja att du vet att u, v och w är linjärt oberoende.

Okej, tack. Vet inte om jag tänker rätt nu men skrev om din ekvation till $u(a+c)+v(a+b)+w(b+c)$

3 st ekvationer och 3 obekanta ger en lösning, vilket medför att systemet är linjärt oberoende (?)

...Fast med mitt resonemang blir ju u-v,v-w och u-w också  linjärt oberoende vilket inte rätt enligt facit

abcdefg skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Beakta ekvationen

a(u + v) + b(v + w) + c(u + w) = 0. 

Är a = b = c = 0 den enda lösningen?

Utnyttja att du vet att u, v och w är linjärt oberoende.

Okej, tack. Vet inte om jag tänker rätt nu men skrev om din ekvation till $u(a+c)+v(a+b)+w(b+c)$

3 st ekvationer och 3 obekanta ger en lösning, vilket medför att systemet är linjärt oberoende (?)

...Fast med mitt resonemang blir ju u-v,v-w och u-w också  linjärt oberoende vilket inte rätt enligt facit

Nej. Nu skall du utnyttja att u, v och w är linjärt oberoende. Detta betyder att uttrycket som du precis skrivit kan vara noll om och endast den skalära faktorn som multiplicerar varje vektor är noll. Dvs om

a + c = 0

a +b = 0

b + c = 0.

Vilka lösningar har detta ekvationssystem? Som kan skrivas som

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

Titta på värdet av determinanten.

Hej!

Hur kan man se att u-v,v-w,u-w är linjärt beroende?

 (u-v) + (v-w) - (u-w) = 0.