Varför är nollvektorn linjärt beroende ?

Linjärt beroende är en relation mellan vektorer; det är meningslöst att prata om linjärt beroende hos en enskild vektor. Din fråga är därför meningslös.

Om du istället undrar Är nollvektorn och v linjärt beroende? så är det en meningsfull fråga.

Studera linjärkombinationen

    $av+b0.$

Om denna är lika med nollvektorn endast då talen $a$ och $b$ båda är lika med noll, så är vektorerna $v$ och $0$ linjärt oberoende. Men linjärkombinationen är lika med nollvektorn om $a = 0$ och $b$ kan vara vilket tal som helst; därför är $v$ och $0$ linjärt beroende.

Linjärt beroende är en egenskap för en mängd(av vektorer) alla mängder som innehåller nollvektorn kommer vara linjärt beroende. Detta inses genom följande definition av linjärt beroende: https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_independence#Definition. Att ekvationen som anges i definitionen har icketriviala lösningar då nollvektorn ingår i mängden S inses genom att alla skalärer muliplicerade med nollvektorn är lika med just nollvektorn. Eftersom ekvationen  har icketriviala lösningar är således mängden S innehållande nollvektorn linjärt beroende.

 Ja men alla skalärer som multipliceras med nollvektor är väl 0? Det är ju en trivial lösning?

Då har man ju fortfarande ingen "icke trivial" lösning?

Strollum skrev:

 Ja men alla skalärer som multipliceras med nollvektor är väl 0? Det är ju en trivial lösning?

 

Då har man ju fortfarande ingen "icke trivial" lösning?

 Nej, trivial lösning betyder i detta fall enbart att konstanterna $a$ och $b$ är lika med noll.

Eftersom $b$ kan vara vilken skalär som helst finns det icke-triviala lösningar där $b\neq0$. Därför är nollvektorn och alla andra vektorer linjärt beroende.

Aha, då förstår jag. 

Tack för svaret!